快速卷积

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一、功能

用快速傅里叶变换计算两个有限长序列的快速卷积。

二、方法简介

设序列\(x(n)\)的长度为\(M\)，序列\(y(n)\)的长度为\(N\)，序列\(x(n)\)与\(y(n)\)的线性卷积定义为
\[ z(n)=\sum_{i=0}^{M-1}x(i)y(n-i) \ , \ n=0,1,...,M+N-2 \]
用快速傅里叶变换计算线性卷积的算法如下

1、选择\(L\)满足下述条件
\[ \left\{\begin{matrix}\begin{align*}L &\geqslant M + N - 1\\ L &= 2^{\gamma }, \ \gamma \ is \ a \ positive \ integer\end{align*}\end{matrix}\right. \]
2、将序列\(x(n)\)与\(y(n)\)按如下方式补零，形成长为\(L = 2^{\gamma }\)的序列
\[ \begin{matrix}x(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}x(n) &, n=0,1,...,M-1 \\ 0 &, n=M,M+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\\ \end{matrix} \]

\[ \begin{matrix}y(n)=\left\{\begin{matrix}\begin{align*}y(n) &, n=0,1,...,N-1 \\ 0 &, n=N,N+1,...,L-1\end{align*}\end{matrix}\right.\\ \end{matrix} \]

3、用FFT算法分别计算\(x(n)\)与\(y(n)\)的离散傅里叶变换\(X(k)\)与\(Y(k)\)
\[ \begin{matrix}X(k)=\sum_{n=0}^{L-1}x(n)e^{-j2\pi nk/L}\\ Y(k)=\sum_{n=0}^{L-1}y(n)e^{-j2\pi nk/L}\end{matrix} \]
4、计算\(X(k)\)与\(Y(k)\)的乘积
\[ Z(k)=X(k)Y(K) \]
5、用FFT算法计算\(Z(k)\)的离散傅里叶反变换，得到卷积\(z(n)\)
\[ z(n)=\frac{1}{L}\sum_{k=0}^{L-1}Z(k)e^{j2\pi nk/L}, \ n=0,1,...,L-1 \]
序列\(z(n)\)的前\(M+N-1\)点的值就是序列\(x(n)\)与\(y(n)\)的线性卷积。

三、使用说明

快速卷积的C语言实现方式如下

/************************************
    x       ----双精度一维数组，长度为len。开始时存放实序列x(i)，最后存放线性卷积的值。
    y       ----双精度一维数组，长度为n。开始时存放实序列y(i)。
    m       ----数据长度，序列x(i)的长度。
    n       ----数据长度，序列y(i)的长度。
    len     ----线性卷积长度，len≥m+n-1，且必须是2的整数次幂，即len=2^gamma。
************************************/
#include "rfft.c"
#include "irfft.c"
void convol(double *x, double *y, int m, int n, int len)
{
    int i, len2;
    double t;
    for(i = m; i < len; i++)
        x[i] = 0.0;
    for(i = n; i < len; i++)
        y[i] = 0.0;
    rfft(x, len);
    irfft(y, len);
    len2 = len / 2;
    x[0] = x[0] * y[0];
    x[len2] = x[len2] * y[len2];
    for( i = 1; i < len2; i++){
        t = x[i] * y[i] - x[len - 1] * y[len - 1];
        x[len - i] = x[i] * y[len - i] + x[len - i] * y[i];
        x[i] = t;
    }
    irfft(x, len);
}

其中rfft.c文件请参考实序列快速傅里叶变换（一）

irfft.c在rfft.c的基础上添加系数长度的倒数。

快速卷积

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原文地址：https://www.cnblogs.com/liam-ji/p/11979964.html