标签：main catalan 城市 tin 进入 矩阵 个人 多少 col
卡特兰数，一个常常出现在排列组合公式中的数列。
1. f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + f(2)*f(n-3)......+f(n-1)*f(0)。
2. f(n) = f(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
3. f(n) = C(2n,n)/(n+1)。
4. f(n) = C(2n,n) - C(2n,n-1)。
对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。
在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。
不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。
反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。
因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。
显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。
代码区：
取模版本的：
1 const int C_maxn = 1e4 + 10; 2 LL CatalanNum[C_maxn]; 3 LL inv[C_maxn]; 4 inline void Catalan_Mod(int N, LL mod) 5 { 6 inv[1] = 1; 7 for(int i=2; i<=N+1; i++)///线性预处理 1 ~ N 关于 mod 的逆元 8 inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod; 9 10 CatalanNum[0] = CatalanNum[1] = 1; 11 12 for(int i=2; i<=N; i++) 13 CatalanNum[i] = CatalanNum[i-1] * (4 * i - 2) %mod * inv[i+1] %mod; 14 }
不取模版本的：
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #define MAXN 40 4 long long Catalan[MAXN]; 5 long long CatalanCalc2() 6 { 7 Catalan[0]=1; 8 Catalan[1]=1; 9 for(long long i = 2; i < MAXN; i++) 10 { 11 Catalan[i] = Catalan[i-1] * (4 * i - 2) / (i + 1); 12 } 13 } 14 15 int main() 16 { 17 int n; 18 CatalanCalc2(); 19 while (scanf("%d",&n)!=EOF&&printf("%lld\n",Catalan[n])); 20 return 0; 21 }
标签：main catalan 城市 tin 进入 矩阵 个人 多少 col
原文地址：https://www.cnblogs.com/St-Lovaer/p/11994479.html
