【转】分圆问题：一个诡异的数列规律

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问题

在圆上任取nn个点，将每对点用直线连接起来，并规定任意三条线不能交于同一点，这些直线会将圆分割成多少份？

首先我们列出简单情况来寻找规律：

• 2个点将圆分成2份
• 3个点将圆分成4份
• 4个点将圆分成8份
• 5个点将圆分成16份

看来这个数列的规律非常明显：每增加一个点，分割的份数都将乘2。然而，当点数增加到6个的时候，分割的份数不是我们预料的32，而是31。

为了找到这个数列的通项公式，我们使用欧拉示性数公式（Euler’s Characteristic Formula）来进行推导：

这个公式的意思是，在任何联通平面简单图中，顶点数减边数加上面数等于2。

为了利用这个公式得到分割的份数（即为面数），我们需要先求出顶点和边的数量。

首先求顶点数：圆内的每个交点都对应圆上的4个点交叉相连，因此圆内的交点共有C4nCn4个，加上圆上的nn个点，因此V=n+C4nV=n+Cn4。

再求边数：圆内的那个交点的度数（度数是与点相连的边的个数）为4，圆上的点都与除此之外的每个点相连，因此度数是n−1n−1，所以总度数为4∗C4n+n∗(n−1)4∗Cn4+n∗(n−1)，由于每条边对于总度数的贡献为2，再加上连接圆上顶点的弦的数目，最后得边的数量E=2∗C4n+C2n+nE=2∗Cn4+Cn2+n。

将结果带入欧拉公式，并考虑园外区域也算一个面，则分割的份数为：

由排列组合公式，上式可以继续分解：

这也就解释了当n<6n<6时结果总是成2的幂。

参考链接：

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