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莫比乌斯函数

定义

设\(n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{c_i}\)，则\(\mu(n)=(-1)^k\)，特别地\(\mu(1)=1\)。

性质

最常用性质

\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)

反演性质

\(F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(d)\mu(\frac{n}{d})\)

\(F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}F(d)\mu(\frac{d}{n})\)

常用性质

\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)

欧拉函数

定义

设\(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i}\)，有\(\phi(n)=n\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}\)。

性质

最常用性质

\(\sum_{d|n}\phi(d)=n\)

零零散散的一些性质（没收集完）

\(\phi(ab)=\frac{\phi(a)\phi(b)gcd(a,b)}{\phi(gcd(a,b))}\)

与莫比乌斯函数的联系

$\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d} \Longleftrightarrow \phi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})d $

杜教筛

思路

狄利克雷卷积

两函数\(f,g\)的狄利克雷卷积\((f*g)\)定义如下：

\((f*g)(i)=\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})\)

函数前缀和

令\(S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)\)

\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{d=1}^{n}g(d)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor }f(i)\\=\sum_{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)

移项得：

\(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)

于是可以递归求解。

莫比乌斯函数前缀和

令\(f(i)=\mu(i),g(i)=1\)，有：

\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}[i=1]\\=1\)

所以\(S(n)=1-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)

欧拉函数前缀和

令\(f(i)=\phi(i),g(i)=1\)，有：

\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}i\\=\frac{n(n+1)}{2}\)

所以\(S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)

其他一些函数的前缀和

若\(f(i)=\mu(i)*i\)，则\(g(i)=i\)。

\(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d*\frac{i}{d}*\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}i\sum_{d|i}\mu(\frac{i}{d})\\=\sum_{i=1}^{n}[i=1]\\=1\)

所以\(S(n)=1 - \sum_{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor )\)

留个大坑先。。。。。

莫比乌斯反演欧拉函数杜教筛大总结

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