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【UOJ269】【清华集训2016】如何优雅地求和

时间:2019-12-14 21:13:53      阅读:80      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:begin   display   math   isp   题目   class   分离   sum   降幂   

题目大意


\[ \sum_{i=0}^n f(i){n\choose i} x^i (1-x)^{n-i} \]
\(998244353\)
\(n\leq 10^9,m\leq 2*10^4\)

题解

式子后面长得很像二项式定理,我们要想办法把\(f(i)\)分离出来。
一种高妙的做法是把\(f\)转成下降幂形式。可能是我做题太少没见过吧

\[ f(x)=\sum_{i=0}^m g_i x^{\underline{i}} \]

\[ \begin{aligned} ans&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j i^{\underline{j}} {n\choose i} x^i (1-x)^{n-i}\&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j \frac{i!}{(i-j)!} \frac{n!}{i!(n-i)!} x^i (1-x)^{n-i}\&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j \frac{n!}{(n-j)!} \frac{(n-j)!}{(i-j)!(n-i)!} x^i (1-x)^{n-i}\&=\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m g_j n^{\underline{j}} {n-j \choose n-i} x^i (1-x)^{n-i}\\end{aligned} \]

【UOJ269】【清华集训2016】如何优雅地求和

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原文地址:https://www.cnblogs.com/zzqtxdy/p/12040532.html

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