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背包问题是动态规划的一个分支，这里先简单介绍一下动态规划的思想。
动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法。不像搜索或数值计算那样，具有一个标准的数学表达式和明确清晰的解题方法。动态规划程序设计往往是针对一种最优化问题，由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的设计方法对不同的问题，有各具特色的解题方法，而不存在一种万能的动态规划算法，可以解决各类最优化问题。因此在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，必需具体问题具体分析处理，以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。我们也可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行分析、讨论，逐渐学会并掌握这一设计方法。（以上来自百度百科）
简单来说动态规划是一个思想，而不是一个固定的算法模板，我们需要通过这种思想确定状态转移方程（一个好的状态），然后再求解。
动态规划适用于很多情况，其中一些情况被统一划分归类，而背包问题则是一种最为常见的动态规划问题。
背包问题又分为许多种，如：01背包，完全背包等
我们这里介绍最为常见的三种，分别是01背包，完全背包，和多重背包。
1.01背包
这是一个经典的动态规划问题，另外在贪心算法里也有背包问题，至于二者的区别在此就不做介绍了。
题目一般都是有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是v[i]，价值是c[i]，将哪些物品装入背包可使价值总和最大？
分析起来很简单，每一种物品都有两种可能，即放入背包或者不放入背包。可以用dp[i][j]表示第i件物品放入容量为j的背包所得的最大价值，则状态转移方程可以推出如下：
dp[i][j]=max{dp[i-1][j-v[i]]+c[i],dp[i-1][j]};
先放下代码：
for (int i = 1;i <= N;i++) //枚举物品
{
for (int j = 0;j <= V;j++) //枚举背包容量
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= v[i])
{
f[i][j] = Max(f[i - 1][j],f[i - 1][j - v[i]] + c[i]);
}
}
}
我们可以发现0-1背包的状态转移方程 dp[i][j] = max{dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，dp[i-1][j]}的特点，当前状态仅依赖前一状态的剩余体积与当前物品体积v[i]的关系。根据这个特点，我们可以将dp降到一维即dp[j] = max{dp[j]，dp[j-w[i]]+v[i]}。从这个方程中我们可以发现，有两个dp[j]，但是要区分开。等号左边的dp[j]是当前i的状态，右边中括号内的dp[j]是第i-1状态下的值。
所以为了保证状态的正确转移，我们需要先更新等号左边中的dp[j]（当前状态的dp[j]）。
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXSIZE 100
int w[MAXSIZE];
int v[MAXSIZE];
int maxv;
int n;
int dp[MAXSIZE];
int max(int a, int b)
{
if (a > b)
return a;
else
return b;
}
int main()
{
cin >> n >> maxv;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> w[i] >> v[i];
}
for (int i = 0; i <= maxv; i++)
dp[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
//只有当j >= w[i],dp[j]才能进行选取最大值,否则dp[j]将不作更新，等于dp[i-1][j]。
for (int j = maxv; j >= w[i]; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
}
}
cout << dp[maxv] << endl;
return 0;
}
对于01背包问题，我们通常使用的是第二种方法，相比之第一种，第二种的空间复杂度无疑是减小了许多。
现在我们来看这个状态转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
我们先分析上一个状态也就是dp[j-w[i]]，我们将上一个状态转移到现在的状态dp[j]有三种情况：
首先在现在的状态dp[j]，在不转移的情况下这也是一种情况；
第二种是dp[j-w[i]]，即当前物品不放入上一个状态；
第三种就是dp[j-w[i]]+v[i]，即当前物品放入上一个状态；
状态转移的过程则是要求我们在这三者当中取最大值，我们知道v[i]必定是大于等于0的，也就是说dp[j-w[i]]+v[i]必定是大于等于dp[j-w[i]]的，我们可以把两者合并为一种情况，然后是dp[j]，为什么dp[j]也算是一种情况，我们回到for循环可以发现第一个物品枚举完之后有一些状态dp[k*w[1]]更新了，它们的值都变成v[i]，然后我们在接下来的过程当中dp[j]可能是已经有了值的，通过状态转移方程我们可以知道这个值是当物品总重量达到j时刻物品总价值的最大值。所以我们需要将dp[j]也看作是一种情况。
2.完全背包
对于01背包问题,它的特点是：每一件物品之多只能选择一件，即在背包中该物品数量只有0和1两种情况。
现在扩展一下，有一个容积为V的背包，同时有n种物品，每种物品均有无数多个，并且每种物品的都有自己的体积和价值。求使用该背包最多能够装的物品价值总和。
这就是完全背包问题。
如果按照0-1背包的思路求解该问题，可设当前物品的体积为w，价值为v，考虑到背包中最多存放V/w件该物品，那么该物品的可选数量就为V/w件。依次可以对所有的物品进行拆分，最后对拆分的所有物品做0-1背包即可得到答案。但是，这样拆分会使物品数量大大增加，其时间复杂度为:O(V*∑ni=1(V/wi))。
可见，当V较大时每个物品的体积较小时，其时间复杂度会显著增大。所以将完全背包问题转化为0-1背包问题去解决的方法不可靠。
在0-1背包的解决算法中，其中一段代码是该算法的核心算法，如下：
struct Good{
int w;
int v;
}goods[101];
int dp[101][1001];
int n,S;//n表示有n个物品，S表示背包的最大容积
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = S; j >= goods[i].w; j--)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i].w] + goods[i].v);
}
}
在这段代码中，之所将j初始化为S，逆序循环更新状态是为了保证在更新dp[j]时，dp[j-goods[i].w]的状态尚未因为本次更新而发生改变，即等价于由
dp[i-1][j-goods[i].w]转移得到dp[i][j]。保证了更新dp[j]时，dp[j-goods[i].w]是没有放入物品i时的数据dp[i-1][j-goods[i].w]。
在解决完全背包问题时，可以借鉴这个思路。在完全背包中，每个物品可以被无限次选择，那么状态dp[i][j]恰好可以由可能已经放入物品i的状态dp[i][j-goods[i].w]转移而来。可以将上面的代码改写如下：
for (i = 1; i <= n; i++)
{
for (j = goods[i].w; j <= S; j++)
dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i].w] + goods[i].v);
}
这样不需要将物品拆分,但是本质上并没什么区别.
3.多层背包
多重背包问题是0-1背包问题和完全背包问题的综合体，可以描述如下：从n种物品向容积为V的背包装入，其中每种物品的体积为w，价值为v，数量为k，问装入的最大价值总和？
我们知道0-1背包问题是背包问题的基础，所以在解决多重背包问题的时候，要将多重背包向0-1背包上进行转换。在多重背包问题中，每种物品有k个，可以将每种物品看作k种，这样就可以使用0-1背包的算法。但是，这样会增加数据的规模。因为该算法的时间复杂度为O(V*∑ni=1ki)，所以要降低每种物品的数量ki。
代码和完全背包的代码基本一样,唯一的不一样就是完全背包的每一种物品数量不限.
#include<bits/stdc++.h>
use namespace std;
const int maxn=10005;
int w[maxn],v[maxn]
int dp[maxn];
int main()
{
int n,maxv;
cin>>n>>maxv;
int index=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
while(a--) {
w[index]=b;
v[index++]=c;
}
}
dp[0]=1;
for(int i=0;i<index;i++)
{
for(int j=maxv;j>=w[i];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout<<dp[maxv]<<endl;
return 0;
}
对于完全背包,不推荐使用上面这个方法,下面有一种复杂度更小的代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1005;
struct node{
int w;
int v;
}p[maxn];
int dp[maxn];
int main(void)
{
int n,maxv;
cin>>n>>maxv;
int index=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
while(a>0) {
if(a&1) {
p[index].v=c;
p[index++].w=b;
}
a/=2;
b*=2;
c*=2;
}
}
dp[0]=0;
for(int i=0;i<index;i++)
{
for(int j=maxv;j>=p[i].w;j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i].w+p[i].v]);
}
}
cout<<dp[maxv]<<endl;
return 0;
}
这里在划分k个物品的时候用了小技巧,用二进制将所有的情况都表示了出来减少了情况的种类,复杂度相比上一个代码简单了许多,.尤其是在物品数量多的时候.
标签：可见 max 经典 思路 模板 它的 its 百度百科 程序设计
原文地址：https://www.cnblogs.com/bqyb/p/12043812.html
