一，b树
b树（balance tree）和b+树应用在数据库索引，可以认为是m叉的多路平衡查找树，但是从理论上讲，二叉树查找速度和比较次数都是最小的，为什么不用二叉树呢？
因为我们要考虑磁盘IO的影响，它相对于内存来说是很慢的。数据库索引是存储在磁盘上的，当数据量大时，就不能把整个索引全部加载到内存了，只能逐一加载每一个磁盘页（对应索引树的节点）。所以我们要减少IO次数，对于树来说，IO次数就是树的高度，而“矮胖”就是b树的特征之一，它的每个节点最多包含m个孩子，m称为b树的阶，m的大小取决于磁盘页的大小。
█一个M阶的b树具有如下几个特征：
- 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子，且M>2；
- 根结点的儿子数为[2, M]；
- 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]，向上取整；
- 非叶子结点的关键字个数=儿子数-1；
- 所有叶子结点位于同一层；
- k个关键字把节点拆成k+1段，分别指向k+1个儿子，同时满足查找树的大小关系。
█有关b树的一些特性，注意与后面的b+树区分：
- 关键字集合分布在整颗树中；
- 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
- 搜索有可能在非叶子结点结束；
- 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
█如图是一个3阶b树，顺便讲一下查询元素5的过程： 
1，第一次磁盘IO，把9所在节点读到内存，把目标数5和9比较，小，找小于9对应的节点；
2，第二次磁盘IO，还是读节点到内存，在内存中把5依次和2、6比较，定位到2、6中间区域对应的节点；
3，第三次磁盘IO就不上图了，跟第二步一样，然后就找到了目标5。
可以看到，b树在查询时的比较次数并不比二叉树少，尤其是节点中的数非常多时，但是内存的比较速度非常快，耗时可以忽略，所以只要树的高度低，IO少，就可以提高查询性能，这是b树的优势之一。
█b树的插入删除元素操作：
比如我们要在下图中插入元素4： 
1，首先自顶向下查询找到4应该在的位置，即3、5之间；
2，但是3阶b树的节点最多只能有2个元素，所以把3、4、5里面的中间元素4上移（中间元素上移是插入操作的关键）；
3，上一层节点加入4之后也超载了，继续中间元素上移的操作，现在根节点变成了4、9；
4，还要满足查找树的性质，所以对元素进行调整以满足大小关系，始终维持多路平衡也是b树的优势，最后变成这样： 
再比如我们要删除元素11：
1，自顶向下查询到11，删掉它；
2，然后不满足b树的条件了，因为元素12所在的节点只有一个孩子了，所以我们要“左旋”，元素12下来，元素13上去： 
这时如果再删除15呢？很简单，当元素个数太少以至于不能再旋转时，12直接上去就行了。
二，b+树
b+树，是b树的一种变体，查询性能更好。m阶的b+树的特征：
- 有n棵子树的非叶子结点中含有n个关键字（b树是n-1个），这些关键字不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点（b树是每个关键字都保存数据）。
- 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。
- 所有的非叶子结点可以看成是索引部分，结点中仅含其子树中的最大（或最小）关键字。
- 通常在b+树上有两个头指针，一个指向根结点，一个指向关键字最小的叶子结点。
- 同一个数字会在不同节点中重复出现，根节点的最大元素就是b+树的最大元素。
█b+树相比于b树的查询优势：
- b+树的中间节点不保存数据，所以磁盘页能容纳更多节点元素，更“矮胖”；
- b+树查询必须查找到叶子节点，b树只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+树查找更稳定（并不慢）；
- 对于范围查找来说，b+树只需遍历叶子节点链表即可，b树却需要重复地中序遍历，如下两图：
