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判断三角形的个数

时间:2019-12-18 10:44:13      阅读:134      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:根据   高度   灵活   思考   block   line   图片   图形   abc   

前言

利用正余弦定理判断三角形的个数的常用思路:

①代数法:从数的角度思考,根据大边对大角的性质,三角形内角和公式,正弦函数值判断;

②几何图形法,从形的角度思考,根据条件画出图形,通过图形直观判断三角形的个数;

典例剖析

例1\(\triangle ABC\)中,已知\(a=2\)\(b=\sqrt{6}\)\(\angle A=45^{\circ}\),则满足条件的三角形有【】个。

$A.1$ $B.2$ $C.0$ $D.无法确定$

法1:代数法,由\(\cfrac{a}{sinA}=\cfrac{b}{sinB}\),得到\(sinB=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(B=60^{\circ}\)\(B=120^{\circ}\),则对应的三角形有两个,故选\(B\)

法2:几何图形法,可仿例3完成,由于\(bsinA=\sqrt{3}\),则\(bsinA<a<b\)

故满足条件的三角形有两个。

例2\(\Delta ABC\)中,已知\(b=40\)\(c=20\)\(\angle C=60^{\circ}\),则此三角形\(\Delta ABC\)的解的情况是如何的?

法1:从形的角度,如图所示,\(AD=20\sqrt{3}\),当以点\(A\)为圆心,以\(20\)为半径做圆时,

此时和角的另一边\(CD\)没有交点,故满足题意的三角形是不存在的。

技术图片

法2:从数的角度,如果这样的三角形是存在的,那么由正弦定理可知,

\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC}\),得到\(sinB=\cfrac{bsinC}{c}=\sqrt{3}>1\)

我们知道\(|sinx|\leq 1\),故这样的\(B\)不存在,即满足题意的三角形不存在。

例3如果\(\angle ABC=60^{\circ}\)\(BC=12\)\(AC=k\),则所构成的三角形\(\Delta ABC\)的个数是如何随\(k\)变化的?

分析:这样的题目我们一般是从形的角度入手分析的多见一些,因为毕竟有形的帮助要直观的多。

如图所示,由图像可知\(CD=6\sqrt{3}\)

技术图片

\(k\in(0,6\sqrt{3})\)时,满足题意的三角形不存在;

\(k=6\sqrt{3}\)时,满足题意的三角形是唯一的,且是直角三角形。

\(k\in(6\sqrt{3},12)\)时,满足题意的三角形是两个。

\(k=12\)时,满足题意的三角形是一个,是等腰三角形。

\(k>12\)时,满足题意的三角形是一个。

【解后反思】1、学生对这类题目的掌握一般都不太好,不会作图,不会应用图像解决问题。

2、这类题目作图的顺序是这样的,先做出\(\angle B\),一条已知边\(BC\)要么水平放置,要么斜放着,一般都是斜放着,此时点\(C\)就有了着落,这样放置也便于求点\(C\)到下底边上的高,然后以点\(C\)为圆心,以\(AC\)长为半径画弧,若所画的弧与下底边有交点,这个交点就是点\(A\),有几个交点就意味着有几个三角形存在,若所画的弧与下底边没有交点,则这样的三角形是不存在的。

例4如果满足\(\angle ABC=60^{\circ}\)\(AC=12\)\(BC=k\)的三角形\(\Delta ABC\)恰有一个,那么\(k\)的范围是多少?

法1:从数的角度入手,由正弦定理\(\cfrac{k}{sinA}=\cfrac{12}{sin60^{\circ}}\)

得到方程\(k=8\sqrt{3}sinA,A\in(0,\cfrac{2\pi}{3})\)有一个解,或者两个函数图像有一个交点,数形结合求解即可。

技术图片

由图可知,满足题意的三角形恰有一个,则\(k\in(0,12]\)\(k=8\sqrt{3}\)

法2:从形的角度入手,动静元素互换位,即让长为12的边变化,让长为\(k\)的边不变化。

如图,以点C为圆心画弧,当12小于点C到边AB的高度\(k\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时 此时三角形是不存在的,

\(k\cfrac{\sqrt{3}}{2}>12\)时,解得\(k>8\sqrt{3}\)

当12等于点C到边AB的高度\(k\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时,三角形是唯一的,

\(12=k\cfrac{\sqrt{3}}{2}\),解得\(k=8\sqrt{3}\)

技术图片

\(12\)大于点\(C\)到边\(AB\)的高度\(k\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时,三角形是两个的,

\(12>k\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}\),解得\(k<8\sqrt{3}\)

\(12\)大于或等于边\(BC\)时,三角形是唯一的,即\(12\ge k>0\)

综上可知,当\(k=8\sqrt{3}\)\(k\in(0,12]\)时,满足条件的三角形恰好只有一个。

【解后反思】1、动静互换,体现了思维的灵活性;

2、是否可以这样想,有一种从形入手分析的思路,必然就会有一种从数入手的思路与之对应。

判断三角形的个数

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12058516.html

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