NOIP2013提高组DAY1T2火柴排队 vijos1842

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例输入

样例输入1
4 
2 3 1 4 
3 2 1 4


样例输入2
4 
1 3 4 2 
1 7 2 4

样例输出1
1
样例输出2
2

先是贪心得出当两个队伍的火柴大小次序一样时最优。证明从略（谁说我不会）。

通过排序得到两个队伍里每个火柴的次序。假设a队列不动，要把b的次序变成和a一样，此时就要构造一个数组c，令c[i]:=rankb[i]在ranka中的位置。(我写的时候直接覆盖了，没开数组)。不过这个我想了很久，当时状态不大好，脑袋卡壳。

接下来才是关键。得到c后，我们只要求出c交换多少次后是有序的就行了，也就是求逆序对。（因为一次交换只能消除一个逆序对）。

因为有100000根火柴，暴力肯定过不了。所以要更好的算法。有树状数组或线段树（这个暂时不会）。但同样有n lg n 的算法，并且好实现得多。

这就是归并排序。我一说大家都懂了吧。在合并时判断一下就行了。

type
      data=array[0..100000]of longint;
const yu=99999997;
var i,j,k,n:longint;
    ans:int64;
    a,b,c,r,o,rank:array[0..100000]of longint;
procedure qsort(l,r:longint; var a:data);
var i,j,t,mid:longint;
begin
   i:=l; j:=r; mid:=a[(i+j)div 2];
   repeat
     while a[i]<mid do inc(i);
     while a[j]>mid do dec(j);
     if i<=j then
      begin
        t:=o[i];
        o[i]:=o[j];
        o[j]:=t;
        t:=a[i];
        a[i]:=a[j];
        a[j]:=t;
        inc(i);
        dec(j);
      end;
   until i>j;
   if l<j then qsort(l,j,a);
   if i<r then qsort(i,r,a);
end;
procedure gui(l,t:longint);
var i,j,m,k,len:longint;
begin
   if l=t then exit;
   m:=(l+t)div 2;
   gui(l,m);
   gui(m+1,t);
   i:=l; j:=m+1;
   k:=l;
   len:=m-l+1;
   while (i<=m)and(j<=t)do
   begin
     if c[i]<c[j] then
      begin r[k]:=c[i]; inc(i); inc(k); end
      else
      begin r[k]:=c[j]; inc(j); inc(k); ans:=ans+m-i+1; end;
   end;
   ans:=ans mod yu;
    while i<=m do
     begin r[k]:=c[i]; inc(i); inc(k); end;
   while j<=t do
     begin r[k]:=c[j]; inc(j); inc(k); end;
   for i:=l to t do c[i]:= r[i];
end;
begin
   readln(n);
   for i:=1 to n do read(a[i]);
   for i:=1 to n do read(b[i]);
   for i:=1 to n do
     o[i]:=i;
   qsort(1,n,a);
   for i:=1 to n do
     begin
      a[o[i]]:=i;
      o[i]:=i;
     end;
   for i:=1 to n do rank[a[i]]:=i;
   qsort(1,n,b);
   for i:=1 to n do
     b[o[i]]:=i;
   for i:=1 to n do
     c[i]:=rank[b[i]];
     gui(1,n);
   writeln(ans);
end.

方法二：树状数组求逆序对

下面是我转载的树状数组求逆序对的解释：

转载：

树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释：

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

    刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

    还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

    刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

    用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

    不是单纯的建立在输入数组之上。

    比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

    下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

    现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

    所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

    这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

    使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

   离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

   因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

   而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

   ①当然用map可以建立，效率可能低点；

   ②这里用一个结构体

   struct Node

   {

      int v,ord;

   }p[510000];和一个数组a[510000];

   其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

   此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

   for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

   然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

   比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

   具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

    如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，

    每插入一个数， 统计比他小的数的个数，

    对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

    其中 i 为当前已经插入的数的个数，

    getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,

    i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数

    但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

    假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，   调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

然后是实现的代码

这个代码没有使用上述的方法，改进了一下，上述方法是正序添加元素寻找比它小的值，还需要用添加的总元素减去比它小的元素就是比它大的元素。下面的代码只需要逆序添加元素，在已添加的元素中寻找比它小的元素，就不需要用添加的总元素再去减了。

1. #include<cstdio>  
2. #include<algorithm>  
3. #include<cstring>  
4.  using namespace std;  
5.  #define MAXN 100010  
6. #define MOD 99999997  
7. struct node{  
8.     int v,t;  
9. }a[MAXN],b[MAXN];  
10. bool cmp(node x,node y)  
11. {  
12.     return x.v<y.v;  
13. }  
14. int n,aa[MAXN],ans=0;  
15. int t[MAXN];  
16. int lowbit(int x)  
17. {  
18.     return x&(-x);  
19. }  
20. void Add(int x)  
21. {  
22.     for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))   
23.         t[i]++;  
24. }  
25. int Sum(int x){  
26.     int rec=0;  
27.     for(;x;x-=lowbit(x))   
28.         rec+=t[x];  
29.     return rec;  
30. }   
31. int main()  
32. {  
33.     scanf("%d",&n);  
34.     int i;  
35.     for(i=1;i<=n;i++)   
36.     {  
37.         scanf("%d",&a[i].v);  
38.         a[i].t=i;  
39.     }  
40.     for(i=1;i<=n;i++)   
41.     {  
42.         scanf("%d",&b[i].v);  
43.         b[i].t=i;  
44.     }  
45.     sort(a+1,a+n+1,cmp);  
46.     sort(b+1,b+n+1,cmp);  
47.     for(i=1;i<=n;i++)   
48.         aa[a[i].t]=b[i].t;  
49.     for(i=n;i>=1;i--)  
50.     {  
51.         ans+=Sum(aa[i]);  
52.         Add(aa[i]);  
53.         ans%=MOD;  
54.     }  
55.     printf("%d\n",ans);  
56.     return 0;  
57. }