标签:矩阵 amp 自己 span 贪心 匈牙利 最小覆盖 合法性 顶点
顶点可以分成\(A,B\)两个集合,每条边的两个顶点分别位于\(A,B\)集合中的图
以该图为例,标记黄色顶点属于集合\(A\),灰色顶点属于集合\(B\),则所有边的两个顶点分属于\(A,B\)集合,该图是一张二分图
二分图中不含奇环(不含奇环的图都是二分图)
黑白染色:用\(DFS\)对原图的顶点进行染色,若某一点为黑色,则与其相邻的点全部染为白色,如果染色过程中不出现矛盾,则原图是二分图
证明:黑白染色过程中出现矛盾,当且仅当图中存在奇环
这类题目有些图论模型是需要自己建立的
洛谷P3430 [POI2005]DWU-Double-row
棋盘通常可以黑白染色
任意两条边都没有公共点的一个边的集合称为二分图的一个匹配
对于原图中的一条路径,存在奇数条边属于匹配,偶数条边不属于匹配,或相反的情况,那么这条路径被称为交错路
对于图中任意一个匹配,如果原图存在一条长度为奇数的路径,满足路径的第奇数条边不属于该匹配,第偶数条边属于该匹配,那么这条路径被称为增广路
边数最多的匹配 (不存在增广路的匹配)
如图,加粗的黑边即是二分图的一个最大匹配
二分图中常见的寻找最大匹配的算法
其本质是贪心的从每个左部节点(\(A\)集合节点)寻找增广路的过程
依次考虑每个左部节点,找到一个右部节点与其匹配
一个右部节点能与其匹配,必须满足一下两个条件之一:
\(1.\)该节点尚未与其他左部节点匹配
\(2.\)从该右部节点匹配的左部节点出发,寻找新的尚未标记的右部节点与其匹配
条件一不用多解释,可以发现条件二就是在寻找增广路
某个臭名昭著的OJ冒烟了,没办法保证模板正确性,先不贴了
满足每一条边都有至少一个点在其中的点集,叫做图的覆盖
包含点数最少的覆盖
最小覆盖=最大匹配(数值上)
先求出最大匹配,然后从右部节点的每一个未匹配点寻找交错路,并标记访问过的节点
则左部标记节点和右部未标记节点构成一组最小覆盖
最小性:
右侧所有未匹配点都被标记,左侧所有未匹配点都未被标记,所以所有覆盖都从匹配点中选择
对于某一联通子图,左部匹配点被选择后,右侧一定不被选择,右侧匹配点被选择后左侧一定不被选择,所以最小覆盖=最大匹配
合法性:
一对匹配点一定同时被标记或未被标记,所以所有匹配边一定被覆盖
连接左部匹配点和右部非匹配点的边会被左部覆盖
连接右部匹配点和左部非匹配点的边会被右部覆盖
最大匹配中不存在连接一对非匹配点的边
所以合法性成立
任意两点在图中没有边相连的点集
点数最多的二分图的独立集
二分图最大独立集=图的点数-二分图最大匹配
可以理解为图中所有点减去最少的点令剩下的点没有边相连,也就是用最少的点覆盖所有的边,即最小点覆盖
先鸽子了~
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原文地址:https://www.cnblogs.com/knife-rose/p/12088704.html