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最小二乘法,简单

时间:2019-12-27 17:54:52      阅读:115      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:最小值   估计   思考   net   导数   冰淇淋   函数   最大的   卡尔   

转自:https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117

原理和求解比较简单,作为自己学习记录一下

 

1 日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说,有五把尺子:

 

用它们来分别测量一线段的长度,得到的数值分别为(颜色指不同的尺子):

 

之所以出现不同的值可能因为:

不同厂家的尺子的生产精度不同

尺子材质不同,热胀冷缩不一样

测量的时候心情起伏不定

......

总之就是有误差,这种情况下,一般取平均值来作为线段的长度:

 

日常中就是这么使用的。可是作为很事‘er的数学爱好者,自然要想下:

这样做有道理吗?

用调和平均数行不行?

用中位数行不行?

用几何平均数行不行?

2 最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先,把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中,分别记作 :

 

其次,把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示(因为是猜测的,所以用虚线来画),记作 :

 

每个点都向 做垂线,垂线的长度就是 ,也可以理解为测量值和真实值之间的误差:

 

因为误差是长度,还要取绝对值,计算起来麻烦,就干脆用平方来代表误差:

 

总的误差的平方就是:

 

因为 是猜测的,所以可以不断变换:

 

自然,总的误差 也是在不断变化的。

 

法国数学家,阿德里安-馬里·勒讓德(1752-1833,这个头像有点抽象)提出让总的误差的平方最小的 就是真值,这是基于,如果误差是随机的,应该围绕真值上下波动(关于这点可以看下“如何理解无偏估计?”)。

这就是最小二乘法,即:

 

这个猜想也蛮符合直觉的,来算一下。

这是一个二次函数,对其求导,导数为0的时候取得最小值:

 

进而:

 

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊,这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法:

 

就是最小二乘法,所谓“二乘”就是平方的意思,台湾直接翻译为最小平方法。

3 推广

算术平均数只是最小二乘法的特例,适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量:

 

看上去像是某种线性关系:

 

可以假设这种线性关系为:

 

通过最小二乘法的思想:

 

上图的 分别为:

 

总误差的平方为:

 

不同的 会导致不同的 ,根据多元微积分的知识,当:

 

这个时候 取最小值。

对于 而言,上述方程组为线性方程组,用之前的数据解出来:

 

也就是这根直线:

 

其实,还可以假设:

 

在这个假设下,可以根据最小二乘法,算出 ,得到下面这根红色的二次曲线:

 

同一组数据,选择不同的 ,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线(出处):

 

不同的数据,更可以选择不同的 ,通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线:

 

 也不能选择任意的函数,还是有一些讲究的,这里就不介绍了。

4 最小二乘法与正态分布

我们对勒让德的猜测,即最小二乘法,仍然抱有怀疑,万一这个猜测是错误的怎么办?

 

数学王子高斯(1777-1855)也像我们一样心存怀疑。

高斯换了一个思考框架,通过概率统计那一套来思考。

让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想,通过测量得到了这些值:

 

每次的测量值 都和线段长度的真值 之间存在一个误差:

 

这些误差最终会形成一个概率分布,只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为:

 

再假设一个联合概率密度函数,这样方便把所有的测量数据利用起来:

 

讲到这里,有些同学可能已经看出来了上面似然函数了(关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计,可以参考“如何理解极大似然估计法?”)。

因为 是关于 的函数,并且也是一个概率密度函数(下面分布图形是随便画的):

 

根据极大似然估计的思想,概率最大的最应该出现(既然都出现了,而我又不是“天选之才”,那么自然不会是发生了小概率事件),也就是应该取到下面这点:

 

当下面这个式子成立时,取得最大值:

 

然后高斯想,最小二乘法给出的答案是:

 

如果最小二乘法是对的,那么 时应该取得最大值,即:

 

好,现在可以来解这个微分方程了。最终得到:

 

这是什么?这就是正态分布啊。

并且这还是一个充要条件:

 

也就是说,如果误差的分布是正态分布,那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。

那么误差的分布是正态分布吗?

我们相信,误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的,比如之前提到的:

不同厂家的尺子的生产精度不同

尺子材质不同,热胀冷缩不一样

测量的时候心情起伏不定


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版权声明:本文为CSDN博主「马同学高等数学」的原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接:https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/81127117

最小二乘法,简单

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原文地址:https://www.cnblogs.com/zhwa1314/p/12108663.html

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