标签：颜色 结合 等价 问题 帮助 html 交换 均值 sid
完全忘了TnT
然而这种类型的题目好像没考过..
先复习一下万能的burnside引理，
啊不先复习一下定义（有些是本蒻自己yy的可能并不准确）
一个物体：被染色的对象
一个元素：一种染色方案
一个置换\(g\)：一种让物体交换位置的变换方法
一个置换群\(G\)：里面的置换满足封闭性结合律单位元逆元
一个循环(对于一个置换i来说的)：不停地用一个置换作用于所有物体，物体呈现循环运动的轨迹（数目记为\(h_i\))
一个不动点（对于一个置换i来说的）：被该置换作用后，不发生改变的一个元素（数目记为\(c_i\)）
一个不动置换类（对于一个元素k来说的）：作用在该元素上使该元素不发生改变的一个置换（数目记为\(Z_k\)）
一个等价类（对于一个元素k来说的）：在G中所有置换作用下k的轨迹，即变化成所有元素的集合（记为\(E_k\)）
等价类数目（对于一个置换群G来说的）：G的作用把全集分成的等价类的个数..（记为L）
问：给一串珠子染色，旋转/翻转同构算一种，某某颜色还不能挨着，某某颜色还必须挨着...
有几种染色方案？
即求等价类数目，此时需要搬出burnside引理
\[L=\frac{1}{|G|} \sum c_i\]
诡谲的翻译：所有置换的不动点的平均值
还是先理解一个比\(L=\frac{1}{|G|} \sum c_i\)直观一点的事实
\[|G|=|Z_k|*|E_k|\]（对任意元素k）
（本蒻的毛病就是，不理解活不下去）
根据本蒻的直观理解，
置换群的一个优美性质是 能使群内元素到达它所在等价类的所有位置的置换数目都相同
也就是说若\(E_x==E_y\),使\(k_0->k_1\)的置换数目\(num（k_0->k_1）=\frac{|G|}{|E_k|}\)
而\(num（k->k）=|Z_k|\)，故\(|Z_k|=\frac{|G|}{|E_k|}\)
故\(|G|=|Z_k|*|E_k|\)
翻译：对任意元素k，置换总数|G|=k所在等价类中元素的\(|Z|\)之和
那么每个\(|G|\)都可以代表某一个等价类的\(|Z|\)之和，
用\(L\)个\(|G|\)就能代表所有元素的\(|Z|\)之和。
\[L*|G|=\sum|Z|\]
统计“置换作用于元素但元素未改变”这一事件发生的数量
\[\sum|Z|=\sum c_i\]
故
\[L*|G|=\sum\ c_i\]
\[L=\frac{1}{|G|} \sum c_i\]
问题有了头绪，求每个置换的不动点数目就行了
然后burnside引理有个延伸/具体化叫polya定理
如果没有颜色相邻的要求，即所有颜色平等化的话，
\[L=\frac{1}{|G|} \sum m^{h_i}\]
基本没怎么变，但是求每个置换的循环节就行了
在一些等价类计数问题中，只需用（tao）到（shang）上述理论
再用一些其他计数算法去计算每个置换的不动点数目/循环节数目就能解决..
只做过帮助理解的一些淼题..
「card」
burnside+dp
「周末晚会」
burnside+dp
「color」
polya+math
「Magic Bracelet」
burnside+dp
「有色图」
这道不是淼题，
而是我感觉很难的一道题..
https://www.cnblogs.com/yxsplayxs/p/11632236.html
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原文地址：https://www.cnblogs.com/yxsplayxs/p/12108577.html
