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群

群的定义

$(i):\forall a \in G,\exists a^{-1},a \cdot a^{-1}=e$

$(ii)$封闭性

群的判定定理：
$\forall a,b\in G,\exists x,y,ax=b \quad and \quad ya=b${证明这个的话，我们只需取a,a的话,我们就可以先把单位元确定了，然后利用性质自然逆元就得到了}
性质：
在群里消去律是成立的

半群的定义：
半群只要求满足结合律(幺半群有单位元)

设G是一个群，H是G的一个非空子集,如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群 ,记为$H<G$

交换群

$\forall a,b \in G,ab=ba$

子群

设G是一个群，H是G的一个非空子集,如果H关于G的运算也构成群，则称H为G的一个子群 ,记为$H<G$

子群的判定定理：$H\subset G,\forall a,b \in H,if ab^{-1} \in H,\rightarrow$H为G的子群

陪集和正规子群

陪集：
$H<G$
$a H={a h | \forall h \in H}$

正规子群：
$\forall a \in G \quad a H=H a$
则我们记作$H \triangleleft G$

关于正规子群的等价性命题：
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$

商群

商群的概念结合了陪集与正规子群
商群}
$如果 H \triangleleft G \quad ,$
$G/H$称为商群

群同态与同构

群同态}
$f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)，
f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2}))$
f为单射 $\rightarrow $单同态
f为满射 $\rightarrow $满同态
f为双射 $\rightarrow$同构

单位元具有唯一性: \
$f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)=\left[f\left(e_{1}\right)\right]^{2}$

群同构基本定理

f :G$\rightarrow H$
(G,$\cdot$)$\rightarrow(H,\triangle)$
\$\frac{G}{Kerf}\cong Imf$
\$\left{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right} \quad and \quad Imf=\left{f(g)|g \in G \right}$}
从单射开始说起，
令gKerf=$\bar{g}$

第二同构定理：$H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K$

群同构第三定理

$G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)$

循环群分类定理
$$
\begin{cases}
(a_{m}) \cong Z_{m}
\
(a)\cong Z
\end{cases}
$$

Cayley定理

任何一个群都同构于一个对称群的子群

Lagrange定理

$H<G$
\G为有限群的情况，H的阶整除G的阶 素数阶的群一定是循环群?

群的作用

G为一个群,$G \neq \varnothing$

$\varphi:G \times S \rightarrow S$

$(i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s))$

$(ii):e(s)=s ,\forall s \in S$

我们引入轨道的概念：$O_{x}={gx|g\in G}$

我们来证明：$\forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能会出现相交的情况)

$O_x \cap O_y \neq \varnothing$

任取$z \in O_x \cap O_y$,存在$g_1,g_2 \in G$,使得$gx=z=gy$

$y=g_2^{-1}g_1x \in O_x$(这里我们要注意一些概念：$O_{x}={gx|\forall g\in G}$)由此得到：$O_y \subset O_x,同理可证O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y$

由于$O_{x}={gx|\forall g\in G}$

这里我们注意一个事实，尽管$\rho$是一个双射，但是群的阶数与集合的阶数不相等。

这是需要我们格外注意的地方：因为我们经常认为群作用了的话，本身就应该与映射出来的集合是一样的，即：$|g(x)|=X$,而不是$|G|=|X|$

我们来看个例子，首先我们必须明白一点群的作用只是个抽象的作用，并不是群真实的作用在集合上，这只是一个称呼。

我们定义$\varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G$

我们有这样的事实：

$(i)e(x)=exe^{-1}$

$(ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1}$

我们很容易提出问题：$|G|?=|O_x|？=|G \times X|$

？？我们注意一件事情，如果G为交换群，则$g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s))$

我们首先要注意事实：$|G|$和$|O_x|$在大多时候的阶数是不一样的

我们先来看看轨道稳定子定理：

我们定义稳定子：$S_x={gx=x}$

那么有这样的事实：$\rho: O_x \rightarrow G \big/S_x$

$gx \rightarrow gS_x$

那么我们$O_x$到$G \big/ S_x$的一一映射

这个是很有意思的事情，一般不容易发现，这样我们就定义$|G|$与$|O_x|$的关系

我们先来证明轨道稳定子定理：

$(i)\rho 为单射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x$

$g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x$

我们得到了很重要的结论：$|G|=|S_x||O_x|$

我们来看看一个群作用：

多项式：$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1$的对称变换的群

$X={x_1,x_2,x_3,x_4}$,G作用在X上，$\tau=(1,2,3,4)$

！！我们要注意这个事实，我们每次的群作用都是利用在X里面去一个元素来完成，所以我们如果要来衡量$|X|$的阶数，

$|X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]$,其中$x_i$取遍不同轨道的代表元素

我们注意一个很有意思的现象，因为群本身的定义是集合，然后有规定的运算，我们可以定义群作用于群本身的集合，

$G \times G \rightarrow G$,我们这里不采用抽象的定义，即映射的方式：$g_1(g_2) \rightarrow g$,这里我们采用共轭作用，群$G$作用在自身

$x \in G,O_x={gxg^{-1}|g \in G},S_x={g \in G|gxg^{-1}=x}$

我们通常把$O_x$称为x所在的共轭类，$S_x$称为中心化子

所以我们得到了一个重要的定理：

$|G|=\sum_{x}|G:C(x)|$，我们对这个等式进行整理，把x为中心元素的共轭类的代表元都弄出来，

$|G:C(x)|=1$(x为中心元素的共轭类)

$G$为有限群，$|G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)|$

(x为取遍非中心元素的共轭类的代表元)

推论：Cauchy定理：如果$G$为一个有限群，$|G|=n$,对于n每一个素因子p，$G$都有阶为p的元素

Sylow定理

环

环的定义

$(i)(\mathbb{R},+)$构成一个交换群
$(ii)(R,\cdot)$满足结合律
$(iii)(R,+,\cdot)$满足分配律
若环K中没有零因子，则消去律成立
{交换环}
若$ab=ba,\forall a,b \in R$交换环
子环
$(R,+,\cdot)$是一个环,S为R的一个非空子集，S关于R的运算成环，则称S为R的子环
$(R,+,\cdot)$是一个环,S为R的一个非空子集，则S为R的子环的充分必要条件：
(i)(S,+)为(R,+)的加法子群
(ii)$\forall a,b \in S\rightarrow ab \in S $

域,除环,体

零因子:
$a \neq 0,\exists b \neq 0,使得ab =0$
这里我们注意，零因子的概念重要性从反面而言，是很显然的，在日常生活中的常用的代数结构，$\mathbb{R}$，除开零元来看的话，都是没有零因子这种代数结构的
这里注意零因子与零元不是一个概念(我们日常使用的代数系统都是无零因子环很多，满足环的消去律)

无零因子环

无零因子环:我们把没有零因子，有单位元e的环称为无零因子环
{整环}
一个没有零因子，有单位元e的交换环R称作整环
高斯整环:$Z[i]$
$(R,+,\cdot)$满足结合律，则称为域
\noindent 四元数体(Hamilton quaternion field)=$\left{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\right}$
除环}
R有单位元$e \neq 0$的环，在环中非零元都可逆
域}
F为一个有单位元的交换环，如果每个非零元都可逆，则称为域

$Q \sqrt[3]{2}$

环同态

设$R_{1},R_{2}$为两个环，
$$f:R_{1} \rightarrow R_{2}$$
若f满足：
(i)$f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2})$
(ii)$f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2})$

理想

R为环，I为R的非空子集，如果I满足：
$(i)\forall r_{1},r_{2}\in I,r_{1}-r_{2}\in I$
$(\forall r \in R,\forall i \in I),ri \in I$称为左理想$ir \in T$称为右理想
根理想：设I为交换环R的一个理想，定义集合：

$Rad(I)={r \in R|存在整数n，使得r^{n}\in I}$

证明$Rad(I)是R$的理想

(这里我们要注意理想的概念)

考察$r_1,r_2$

若$r_{1}^n \in I,r_2^m \in I$

考虑$(r_1-r_2)^{m+n}$

这里我们主要考虑$\sum_{k=1}^{m+n}r_1^kr^{m+n-k}$

根据理想的性质，$r_1和r_2根据次方总有一个满足其中一个属于理想$

不妨设$r^k \in I$,根据$sI \subset I$,显然$(r_1-r_2)^{m+n} \in I$

商环

环R,理想I,在(R,+)的商集$R \bigg/ I = {r+I|r \in R }$上

主理想

R为环, $\forall a \in R,$,则(a)=由a生成的理想，称为主理想
这个概念比较麻烦，我们康康一个例子，

设R为有单位元的交换环，则主理想：$(a)={ra|r \in R}$
(i)首先证明(a)为R的一个子环，
$ \forall \alpha,\beta \in (a), \rightarrow \alpha =r_{\alpha}a,\beta= r_{\beta}a$
\我们利用子环的判定定理\
易知$\alpha - \beta =(r_{\alpha}-r_{\beta})a \in (a)$
\$\alpha \beta =r_{\alpha}r_{\beta}aa \in (a)$($r_{\alpha}r_{\beta} \sim r$)
\(ii)我们还要考虑一些事情：(a)本身为理想，
\ $\forall \bar{r} \in R, \bar{r}(a)= \lbrace \bar{r}ra \rbrace$
\ $\bar{r}(a) \subset (a) $

{极大理想与素理想}
{极大理想}
R为交换环，M为R的真理想,对R的任一包含M的理想N $\rightarrow N=M \quad Or \quad N=R$
素理想}
R为交换环,P为R的真理想,如果$\forall a,b\in R$,由 $ab\in P \rightarrow a \in P \quad Or \quad b \in P$

R为一个有单位元的交换环,则R的每个极大理想都是素理想

主理想环

环的每一个理想都是主理想

除环，域都是主理想

$$(\mathbb{Z},+,\times)$$
主理想整环

多项式整环

(f{R}(x),+,$\times$)
\ $P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}$

域

域的扩张

$K \subset \mathbb{F}$,为两个域，称$\mathbb{F}$为K的扩域

代数元，超越元

代数元
设$\mathbb{F}$是一个域,称$\alpha$为代数数，若存在一个多项式f(x)$\in \mathbb{F}[x] ,s.t. f(\alpha)=0$

极小多项式

$\mathbb{F}$为域,

极小多项式不可约

习题

群

证明正规子群的等价性命题:
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$

$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$
我们从这里证明正规子群，
{$ah=aha^{-1}a=(aha^{-1})a \subset Ha
\ \forall a \in G ,a^{-1}h(a^{-1})^{-1} \in H ,\rightarrow ha \in aH,Ha \subset aH
$}

f:$G \rightarrow H$群同态
则$ Kerf \triangleleft G$

{$\forall gkg^{-1} \in g Kerf g^{-1}
\ f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1})
\ =f(g)e_{H}[f(g)]^{-1}=e_{H}
\ gkg^{-1} \in Kerf(gKerfg^{-1}\subset Kerf)$}

证明群同态基本定理f :G$\rightarrow H$
$(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)$
$\frac{G}{Kerf}\cong Imf$

{Kerf显然是正规子群,}

设$C(G)= { a \in G|\forall g \in G,ag=ga } $,是群G的中心，证明：如果G/C(G)是循环群，则G是Abel群

简要证明Sylow定理(1,2,3)

设 G 的阶为 168, G 中有多少个阶为 7 元素

环

在$\mathbb{Z}_{2}[x]$中多项式$x^3+x^2+1$是不可约的，并利用这一结论构造一个有8个元的有限域

{在数域$\mathbb{Z}{2}[x]$只有$\bar{1},\bar{0}$，容易得出多项式$X^3+X^2+1$是不可约的(其值不为0)，利用$f(x)$不可约$\rightarrow$ $(f(x))$为极大理想
\ $\mathbb{Z}{2}[x] \bigg/ (x^3+x^2+1)$是域
={$\bar{a}+\bar{b}x+\bar{c}x^2$}($222$)
}

求环$\mathbb{Z}_{28}$的所有素理想和极?理想

近世代数

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原文地址：https://www.cnblogs.com/zonghanli/p/12121865.html