D. Santa's Bot

标签：std   算法   分数   执行   不可   ++i   size   需求   stream   

题意：圣诞老人收到一些信件来自n个不同的小朋友这年，当然，每个孩子都想要从圣诞老人那得到一些礼物，尤其，第i个小朋友想要ki个不同的礼物中的一个作为他的礼物，一些礼物可能被多个小孩所拥有。

圣诞老人很忙碌，所以他想要新年机器人去选择一些礼物给孩子，不幸的是，机器人算法出了一些Bug，为了选择一些礼物给孩子，机器人执行如下的操作：
1.等概率地从n个孩子中选择孩子x
2.从第x个小孩想要的kx个礼物中等概率地选出y礼物
3.等概率地选择一个小孩z去接受这个礼物
(x, y, x)被叫做机器人的一种选择
如果小孩z列出的礼物中存在y礼物，那么这个选择就是有效的。
计算这个选择有效的概率

输入：
第一行表示n个小孩
接下来n行，第i行表示第i个小孩想要的圣诞礼物列表，ki, ai1, ai2, ... aiki，
一个礼物在同一个列表里不会出现多次

输出：
打印机器人有效选择的概率，把这个概率表示为不可约分数\(\frac{x}{y}\)，你必须打印\(x \cdot{y}^{-1} mod 998244353\)

分析：题目的意思是说有n个小孩子，每个孩子有ki件礼物是他们想要的，现在随机地挑出一个孩子去接受这个礼物，并且这个礼物也是存在他想要的礼物单里的询问这个概率
假设我们现在挑出来一个孩子x，挑出他的概率为1 / n，从他的愿望单里选出一个礼物，概率变为1 / n * 1 / k[x]，再挑一个孩子，并且符合的概率为：1/n * 1/k[x] * 该礼物的数量(所有愿望单里) / n，这样就可以求得这个概率
输出要求我们先把这个概率化成不可约的分数x / y，然后求x / y mod 998244353，这个可以采用快速幂求逆元，快速幂求逆元的作用就是把x / y mod p这种形式的东西变成x * q mod p，即把这个除法化成乘法，并且它们相模的值相等
因为，在计算机中除法变成乘法会变得好很多
这是数论的东西，想弄懂这道题必须要有前缀知识：快速幂取模和快速幂求逆元

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

using LL = long long;
const int mod = 998244353;
const int N = 1e6 + 5;
vector<int> list[N];
int k[N];
//记录礼物数量
int cnt[N];
//快速模
LL qmi(int a, int b, int p)
{
    LL res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * (LL)a % p;
        b >>= 1;//b右移一位
    }
    return res;
}

//费马小定理
//y的模mod的乘法逆元
int Fermat(int y)
{
    return qmi(y, mod - 2, mod);
}

int main()
{
    //n个小孩
    int n;
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &k[i]);
        list[i].resize(k[i] + 1);
        for (int j = 1; j <= k[i]; ++j)
        {
            scanf("%d", &list[i][j]);
            ++cnt[list[i][j]];
        }
    }

    LL res = 0;
    //计算概率

    //只需求1/k[x] * cnt即可
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        LL cur = 0;
        for (int j = 1; j <= k[i]; ++j)
            cur += cnt[list[i][j]];
        //求k[i]模mod的乘法逆元
        res += ((cur % mod) * Fermat(k[i])) % mod;
    }
    //再乘以1 / n * n
    res = ((res % mod)) * Fermat((1ll * n * n) % mod) % mod;

    printf("%lld\n", res);


    return 0;
}

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