红黑树详解

时间：2020-01-06 09:34:59 阅读：78 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

1.为什么需要红黑树？

对于二叉搜索树，如果插入的数据是随机的，那么它就是接近平衡的二叉树，平衡的二叉树，它的操作效率（查询，插入，删除）效率较高，时间复杂度是O（logN）。但是可能会出现一种极端的情况，那就是插入的数据是有序的（递增或者递减），那么所有的节点都会在根节点的右侧或左侧，此时，二叉搜索树就变为了一个链表，它的操作效率就降低了，时间复杂度为O(N)，所以可以认为二叉搜索树的时间复杂度介于O（logN）和O(N)之间，视情况而定。那么为了应对这种极端情况，红黑树就出现了，它是具备了某些特性的二叉搜索树，能解决非平衡树问题，红黑树是一种接近平衡的二叉树。

2.红黑树的特性有哪些？

首先，红黑树是一个二叉搜索树，它同时满足以下特性：

(1) 每个节点要么是黑色，要么是红色

(2) 根节点是黑色

(3) 如果节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的（反之，不一定需要成立）

(4) 从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，都包含相同数目的黑色节

通过看图来理解以上四个特性

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3.红黑树的效率

红黑树的查找，插入和删除操作，时间复杂度都是O(logN)。查找操作时，它和普通的相对平衡的二叉搜索树的效率相同，都是通过相同的方式来查找的，没有用到红黑树特有的特性。但，如果插入的时候是有序数据，那么红黑树的查询效率就比二叉搜索树要高了，因为此时二叉搜索树不是平衡树，它的时间复杂度O(N)。插入和删除操作时，由于红黑树的每次操作平均要旋转一次和变换颜色，所以它比普通的二叉搜索树效率要低一点，不过时间复杂度仍然是O(logN)。总之，红黑树的优点就是对有序数据的查询操作不会慢到O(logN)的时间复杂度。

4.对旋转的理解

在红黑树中，插入或者删除数据时，为了保持红黑树的那五个特性，需要进行旋转和变换颜色的操作。旋转必须要一次性做两件事情：

* 使一些节点上升，一些节点下降，帮助树平衡

* 保证不破坏二叉搜索树的特征

旋转分为左旋转和右旋转，那么我们就看下左旋转和右旋转是怎么回事。

4.1 左旋转

此处，以50为支点进行逆时针旋转，然后75成为了顶点，50成为了75的左子节点，65成为了50的右子节点，这个操作就是左旋转。

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4.2 右旋转

此处，以75为支点顺时针旋转，然后50成为了顶点，75成为了50的右子节点，65成为了75的左子节点，这就是右旋转操作。

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5.插入操作

在介绍插入操作前，先约定一下各个节点的名称。看图：
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在红黑树中，插入一个节点，都执行了哪些操作呢？

首先，查找要插入节点的位置，然后给予颜色（红色或者黑色），但是为了保证红黑树的特性，需要进行旋转或者更改颜色，需要注意的是，在旋转前和旋转后，红黑树一直都是一个二叉搜索树，二叉搜索树的特征从未改变过。

这里，对于新插入的节点，我们给予的颜色是红色，是因为为了和红黑树的第（4）条特性不冲突：从根节点到叶节点或空子节点的每条路径，都包含相同数目的黑色节点。这样就少了很多操作。然后看其它几个特性

* 对于(1)特性：每个节点要么是黑色，要么是红色，不冲突。

* 对于(2)特性：根节点是黑色，如果插入的节点不是根节点，也不冲突。如果是根节点，那么直接给予颜色黑色

那么，唯一需要满足的特性就是（3）：如果节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的。这里，当我们给予新插入的节点颜色是红色时，需要根据父节点的不同情况做不同的处理，以满足这个特性。有以下几种情况：

根据代码来理解这几种情况：

/* 红黑树修正程序 */
void insert_repair_tree(struct node* n) {
 //情况一：节点N的父节点为null，说明该节点是根节点
 if (parent(n) == NULL) {
  insert_case1(n);
 } else if (parent(n)->color == BLACK) {
  //情况二：父节点是黑色
  insert_case2(n);
 } else if (uncle(n)->color == RED) {
  //情况三： 父节点和叔叔节点都是红色
  insert_case3(n);
 } else {
  //情况四:父节点是红色，叔叔节点是黑色
  insert_case4(n);
 }
}

5.1：如果新插入节点是根节点，那么给予该节点颜色是黑色

看代码：

/* 情况一：插入的节点是根节点 */
void insert_case1(struct node* n)
{
 if (parent(n) == NULL)
  n->color = BLACK;
}

5.2：如果新插入节点的父节点是黑色，那么给予该节点是红色不会对该红黑树有任何影响，所以不做任何处理。

看代码：

/* 情况二：父节点是黑色 */
void insert_case2(struct node* n)
{
  return; /* Do nothing since tree is still valid */
}

5.3：如果新插入节点的父节点是红色，同时叔叔节点也是红色

需要将父亲节点和叔叔节点重新绘制为黑色，祖父节点绘制为红色。但是，如果此处祖父节点为根节点，那么需要调用红黑树修正程序，将祖父节点绘制为黑色。

看代码：发现看代码比看图要更容易理解，并且逻辑也更严谨，对于父亲节点和叔叔节点都是红色时，发现其他文章都没有考虑祖父节点为根节点的情况，这里图就省了。

/* 情况三：父节点和叔叔节点都是红色 */
void insert_case3(struct node* n)
{
 parent(n)->color = BLACK;
 uncle(n)->color = BLACK;
 grandparent(n)->color = RED;
 //调用红黑树修正程序
 insert_repair_tree(grandparent(n));
}

5.4：如果新插入节点的父节点是红色，同时叔叔节点是黑色

看代码：

/* 情况四：第一步 */
void insert_case4(struct node* n)
{
 struct node* p = parent(n);
 struct node* g = grandparent(n);

 if (n == g->left->right) {
  /* 如果父节点是祖父节点的左子节点，新插入节点是父节点的右子节点，那么以父节点为支点左旋 */
  rotate_left(p);
  n = n->left;
 } else if (n == g->right->left) {
    /* 如果父节点是祖父节点的右子节点，新插入节点是父节点的左子节点，那么以父节点为支点右旋 */
  rotate_right(p);
  n = n->right; 
 }

 insert_case4step2(n);
}

/* 情况四:第二步 */
/* 在第二步时：当前节点n肯定处于 祖父节点左子节点的左侧，或者祖父节点右子节点的右侧 */
void insert_case4step2(struct node* n)
{
struct node* p = parent(n);
  struct node* g = grandparent(n);

 if (n == p->left)
  /* 以祖父节点为支点进行右旋 */
  rotate_right(g);
 else
  rotate_left(g);
 p->color = BLACK;
 g->color = RED;
}

在满足父节点是红色，叔叔节点是黑色的条件下，我们可以分以下几种情况：

情况（a）：父节点p是祖父节点g的左子节点，新插入节点n是父节点p的右子节点

处理：以父节点为支点左旋，然后以祖父节点为支点进行右旋，最后给父节点（第一次旋转后的父节点）绘制为黑色，给祖父节（第一次旋转后的祖父节点）点绘制为红色

看图：

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