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Lyndon Words

定义

对于字符串 \(S\)，若 \(S\) 的最小后缀为其本身，那么称 \(S\) 为 \(\text{Lyndon}\) 串（\(\text{Lyndon Words}\)）

即 \(S \in L\)，\(\begin{cases} S是严格最小循环 \\ minsuf(s)=s \end{cases}\)。

性质

\(Border(S)=\varnothing\)

推论

如果 \(u,v \in L, u \prec v\Rightarrow uv \in L\)。

\(\mathcal{Proof.}\)

\(1) s=u'v,u\triangleleft u' \Rightarrow uv < u'v\)

\(2) \text{to prove uv<v}\)

? \(2.1) u \triangleleft v \Rightarrow uv<v\)

? \(2.2) u \sqsubseteq v \Rightarrow v=uv',v<v' \Leftrightarrow uv<uv' \Leftrightarrow uv<v\)

\(3) S=v',uv<v<v'\)

\(Q.E.D.\)

PS： \(\triangleleft\)：严格小于，且不是前缀，必有一个字母不同，\(\sqsubseteq\)：前缀

\(ex.\) 如果 \(u,v\in L,u<v \Rightarrow u^av^b\in L\)

显然。

Lyndon 分解 (Lyndon Factorization)

任意字符串 \(s\) 可以分解为 \(s=s_1s_2s_3\dots s_k\)，其中 \(s_i\) 是 \(\text{Lyndon}\) 串，\(s_i \ge s_{i+1}\)，且这种分解方法是唯一的。

\(\mathcal{Proof.}\)

先证存在性：

初始时每段一个字符，然后不断地将相邻两段 \(s_i<s_{i+1}\) 合并。

再证唯一性：

若有两种方案，取第一次不同的位置，设 \(|s_i| > |s_i'|\)，令 \(s_i=s_i's_{i+1}' \dots s_k'pre(s_{k+1}',l)\)，则
\[ s_i<pre(s_{k+1}',l)\le s_{k+1}' \le s_i' < s_i,矛盾 \]

性质

1. \(s_k\) 是最长的 \(\text{Lyndon suffix}\)
2. \(s_1\) 是最长的 \(\text{Lyndon prefix}\)
3. \(s_k=minsuf(s)\)

Duval 算法

\(\text{Duval}\)

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原文地址：https://www.cnblogs.com/newbielyx/p/12157972.html