计算自相关系数acf和偏相关系数pacf

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时间序列分析中，自相关系数ACF和偏相关系数PACF是两个比较重要的统计指标，在使用arma模型做序列分析时，我们可以根据这两个统计值来判断模型类型（ar还是ma）以及选择参数。目前网上关于这两个系数的资料已经相当丰富了，不过大部分内容都着重于介绍它们的含义以及使用方式，而没有对计算方法有详细的说明。所以虽然这两个系数的计算并不复杂，但是我认为还是有必要做一下总结，以便于其他人参考。本文的内容将主要集中于如何计算ACF和PACF，关于这两个系数的详细描述，大家可以参考网上的其它博客。

1. 变量说明

首先对基本变量做一下说明，后续的公式和计算都将以这些变量为准。

我们用变量\(X_{t}\)表示一个时间序列，\(x_{t}\)表示序列中的第\(t\)个点，\(t=1,2,3\dots,N\)，\(N\)表示序列\(X_{t}\)的长度。

序列的均值：\(\mu=E(X_{t})\)

序列的方差：\(\sigma^{2}=D(X_{t})=E((X_{t}-\mu)^{2})\)

序列的标准差：\(\sigma\)

对于长度一样的两条不同序列\(X_{t}\)和\(Y_{t}\)，可以使用协方差来刻画它们的相关性。

序列的协方差：\(cov(X_{t},Y_{t})=E((X_{t}-\mu_{x})(Y_{t}-\mu_{y}))\)

协方差的值\(|cov(X_{t},Y_{t})|\)越大，说明序列\(X_{t}\)和\(Y_{t}\)的相关性越强（大于0时为正相关，小于0时为负相关）。类似地，对于序列\(X_{t}\)，我们根据序列的滞后次数\(k\)来计算对应的序列自协方差，

序列的自协方差（有偏）：\(\hat{c}_{k}=E((X_{t}-\mu)(X_{t-k}-\mu))=\frac{1}{N}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)\)

对于\(c_{k}\)，我们有两种估计值，有偏估计（上式）和无偏估计，

序列的自协方差（无偏）：\(c_{k}=\frac{1}{N-k}\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)\)

可以注意到\(c_{0}(\hat{c}_{0})=\sigma^{2}\)，进一步地，我们根据序列的自协方差来定义序列的自相关系数：

序列的自相关系数（有偏）：\(\hat{r}_{k}=\frac{\hat{c}_{k}}{\hat{c}_{0}}\)

序列的自相关系数（无偏）：\(r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}\)

后续关于PACF的计算将以无偏估计值（\(c_{k}\)和\(r_{k}\)）为代表，大家可自行替换为有偏估计（\(\hat{c}_{k}\)和\(\hat{r}_{k}\)）。

2. 序列的自相关系数ACF

由前文易得ACF的计算公式：

自相关系数ACF（无偏）：\(acf(k) = r_{k}=\frac{c_{k}}{c_{0}}=\frac{N}{N-k}\times \frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}\)

自相关系数ACF（有偏）：\(\hat{acf}(k) = \hat{r}_{k}=\frac{(N-k)c_{k}}{Nc_{0}}=\frac{\sum_{t=k+1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t-k}-\mu)}{\sum_{t=1}^{N}(x_{t}-\mu)(x_{t}-\mu)}\)

代码（python）如下

import numpy as np

# acf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_acf(ts, k):
#    return statools.acf(ts, nlags=k, unbiased=False)

def acf(ts, k):
    """ Compute autocorrelation coefficient, biased
    """
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    coeff = np.zeros(k+1, np.float64) # to store acf
    coeff[0] = x.dot(x) # N*c(0)

    for i in range(1, k+1):
        coeff[i] = x[:-i].dot(x[i:]) # (N-k)*c(i)
        
    return coeff / coeff[0]

3. 序列的偏相关系数PACF

偏相关系数PACF的计算相较于自相关系数ACF要复杂一些。网上大部分资料都只给出了PACF的公式和理论说明，对于PACF的值则没有具体的介绍，所以我们首先需要说明一下PACF指的是什么。这里我们借助AR模型来说明，对于AR(p)模型，一般会有如下假设：
\[x_{i+1} = \phi_{1}x_{i}+\phi_{2}x_{i-1}+...\phi_{p}x_{i-p+1}+\xi_{i+1}\]
其中，\(\phi_{j},j=1,2,\dots,P\)是线性相关系数，\(\xi_{i+1}\)是噪声，即我们假设点\(x_{i+1}\)与前\(p\)个点\(x_{i-p+1},x_{i-p+2},\dots,x_{i}\)是线性相关的，而PACF所要表示的就是点\(x_{i}\)与点\(x_{i-p}\)的相关性。所以，

序列的偏相关系数PACF：\(pacf(p)=\phi_{p}\)

我们没有办法单独求解\(\phi_{p}\)。对于一般的线性回归问题，可以使用最小二乘法（MLS）来求解相关系数，而这里可以使用Yule-Walker等式来求解，详情可以参考YW-Eshel。对于滞后次数\(k\)，我们依照如下过程来构建Yule-Walker等式：

1. 首先，我们有假设的原等式:
   \[x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1})+\xi_{i+1}\]
2. 将等式的两边同乘以\(x_{i-k+1}\)，可以得到：
   \[x_{i-k+1}.x_{i+1}=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}x_{i-j+1}.x_{i-k+1})+x_{i-k+1}.\xi_{i+1}\]
3. 接着，对等式的两边同时求期望，可以得到：
   \[\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle)+\langle x_{i-k+1}.\xi_{i+1}\rangle\]
4. 因为噪声项默认是0均值的，所以可以去掉噪声：
   \[\langle x_{i-k+1}.x_{i+1}\rangle=\sum_{j=1}^{k}(\phi_{j}\langle x_{i-j+1}.x_{i-k+1}\rangle)\]
5. 等式两边同除以\(N-k\)（无偏，有偏估计时，除以\(N-1\)），同时我们又有\(c_{l} = c_{-l}\)，因此可以得到：
   \[c_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}c_{j-k}\]
6. 最后，将等式两边同除以\(c_{0}\)，可以得到：
   \[r_{k}=\sum_{j=1}^{k}\phi_{j}r_{j-k}\]

根据最后的等式，我们将所有相关项列出来后，可以得到：
\[\left(\begin{matrix} r_{1}\ r_{2}\ .\ r_{k-1}\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} r_{0} & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\ r_{1} & r_{0} & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\ . & . & . & . & . & . \ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . & r_{0} & r_{1} \ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} & r_{0} \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\ \phi_{2}\ .\ \phi_{k-1}\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]
这里的\(r_{k}\)便是之前提到的序列自相关系数ACF，同时，可以注意到\(r_{0}=1\)，因此有
\[\left(\begin{matrix} r_{1}\ r_{2}\ .\ r_{k-1}\ r_{k} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\ . & . & . & . & . & . \ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right)\times \left(\begin{matrix} \phi_{1}\ \phi_{2}\ .\ \phi_{k-1}\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]
简化起见，我们令
\[r=\left(\begin{matrix} r_{1}\ r_{2}\ .\ r_{k-1}\ r_{k} \end{matrix}\right), R= \left(\begin{matrix} 1 & r_{1} & r_{2} & . & r_{k-2} & r_{k-1}\ r_{1} &1 & r_{1} & . & r_{k-3} & r_{k-2}\ . & . & . & . & . & . \ r_{k-2} & r_{k-3} & r_{k-4} & . &1 & r_{1} \ r_{k-1} & r_{k-2} & r_{k-3} & . & r_{1} &1 \end{matrix}\right), \Phi= \left(\begin{matrix} \phi_{1}\ \phi_{2}\ .\ \phi_{k-1}\ \phi_{k} \end{matrix}\right)\]
则有等式如下，\(R\)为toeplitz矩阵，\[R\Phi=r\]
由于矩阵\(R\)是对称满秩矩阵，所以存在可逆矩阵\(R^{-1}\)，使得\(\hat{\Phi}=R^{-1}r\)，则可以求得滞后次数为\(k\)的偏相关系数（上标\((k)\)表示第\(k\)个解向量）：\[pacf(k)=\hat{\Phi}_{k}^{(k)}\]
代码（python）如下

import numpy as np
from scipy.linalg import toeplitz

# pacf method in statsmodels
#import statsmodels.tsa.stattools as stattools
#def default_pacf(ts, k):
#    return statools.pacf(ts, nlags=k, unbiased=True)

def yule_walker(ts, order):
    ''' Solve yule walker equation
    '''
    x = np.array(ts) - np.mean(ts)
    n = x.shape[0]

    r = np.zeros(order+1, np.float64) # to store acf
    r[0] = x.dot(x) / n # r(0)
    for k in range(1, order+1):
        r[k] = x[:-k].dot(x[k:]) / (n - k) # r(k)

    R = toeplitz(r[:-1])

    return np.linalg.solve(R, r[1:]) # solve `Rb = r` to get `b`

def pacf(ts, k):
    ''' Compute partial autocorrelation coefficients for given time series，unbiased
    '''
    res = [1.]
    for i in range(1, k+1):
        res.append(yule_walker(ts, i)[-1])
    return np.array(res)

4. 总结

对如何计算自相关系数ACF和偏相关系数PACF的介绍就到这里了，由于本人并非统计学相关专业，上述内容是基于个人对网上资料和开源代码（python：statsmodels）的理解所总结的，存在错误，烦请指出，本文仅作为各位学习相关算法的参考。

计算自相关系数acf和偏相关系数pacf

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原文地址：https://www.cnblogs.com/nkuhyx/p/12162637.html