ABC #150 E. Change a Little Bit

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题目。

经过一番分析，问题归为求 $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (i+1)$。

考虑多项式 $p(x) := \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (i+1)x^{i}$，所求即 $p(1)$。
注意到 $p(x) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (x^{i + 1})‘ = (\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{i + 1})‘$。
而 $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{i + 1} = x \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{i} = x(x+1)^{n}$。
故 $p(x) = (x(x+1)^{n})‘ = (x+1)^{n} + nx(x+1)^{n-1}$，于是 $p(1) = 2^{n} + n2^{n - 1}$。

又 $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} (i+1) = 2^{n} + \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} i$，于是有 $\sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} i = n2^{n-1}$。

ABC #150 E. Change a Little Bit

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