二分的细节

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　　满足单调性的情况下，可以用二分法找出答案，复杂度为logn

　　1.在整数范围内，闭区间[l,r]的二分，以l==r为结束条件。边界条件需要考虑几个问题，当l或r更新的时候范围是否有缩小（若无则选入死循环），是赋得新值之后l是否==r而不是>r;

　　2.根据题目设计选取mid归属于左半区间还是右半区间，假设我们要在单调递增的数组里面找第一个 >=val的值　　假设a[mid]符合条件，那么可知mid的右边全都符合条件，但不知道mid的左边有没有符合条件的数字，因此在划分区间的时候不可以将mid去掉，因此r=mid,l=mid+1；为了使r=l+1的时候l<=r，此时mid=(l+r)>>1==l；

1 int binary_1(int l,int r,int val)
2 {
3     while(l<r)
4     {
5         int mid=(l+r)>>1;
6         if(a[mid]>=val)    r=mid;else l=mid+1;
7     }
8     return l;
9 }

　　3.假设还是一个单调递增的数列，取第一个<=val的值，假如a[mid]符合条件，则mid的左半部分都符合条件，右半部分不一定有符合条件的，因此不能舍去，l=mid,r=mid-1;mid=(l+r+1)>>1;当r=l+1时，mid=r,为了缩小边界，r=mid-1;

int binary_2(int l,int r,int val)
{
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(a[mid]<=val)    r=mid-1;else l=mid;
    }
    return l;
}

　　　　其中用位运算>>1而不是用/2 是因为在遇到负数的时候>>1是向下取整， /2是向0取整

　　4.可以把[1,n]扩大为[0,n] [1,n+1]，当去到r取0，或者l取n+1的时候即无解

　　5.在实数域上的二分只需要考虑精度，则确定精确度即可，抑或是二分固定次数

 1 double binary(double l,double r,double exp)
 2 {
 3     while(r-l>exp)
 4     {
 5         double mid=(l+r)/2;
 6         if(cal(mid)) l=mid;else r=mid;
 7     }
 8     
 9     for(int i=1;i<=100;i++)
10     {
11         double mid=(l+r)/2;
12         if(cal(mid))l=mid;else r=mid;
13     }
14 }

　　6.当l+r很大的时候有可能溢出，更妥当的写法是 l+(r-l)>>1     /    l+(r-l)>>1+1;

　　7.三分法求极值（单峰函数严格单调） 将区间三分，比较mid1和 mid2 极值点一定不在某个区间上，此区间为[l,mid1]或[mid2,r] 

double maxx(double l,double r,double exp)
{
    while(r-l>exp)
    {
        double k=r-l/3,mid1=l+k,mid2=r-k;
        if(f(mid1)<f(mid2))    l=mid1;else r=mid2;
    }
    return l;
}

二分的细节

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