多项式模板

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泰勒展开 & 倍增

对于给定 \(G(x)\) 求满足 \(G(F(x))\equiv 0\pmod{x^n}\) 的 \(F(x)\)。

假设当前已知 \(G(F_0(x))\equiv 0\pmod{x^{\lceil\frac{n}{2}\rceil}}\)，将 \(G(F(x))\) 在 \(F_0(x)\) 处泰勒展开，则

\[ \begin{aligned} G(F(x))&=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{G^{(i)}(F_0(x))}{i!}(F(x)-F_0(x))^i\&\equiv G(F_0(x))+G'(F_0(x))(F(x)-F_0(x))\equiv 0&\pmod{&x^n} \F(x)&\equiv F_0(x)-\frac{G(F_0(x))}{G'(F_0(x))}&\pmod{&x^n} \end{aligned} \]

多项式求逆(inv)

令

\[ H(F(x))=\frac{1}{F(x)}-G(x)\equiv 0\pmod{x^n} \]

则

\[ F(x)\equiv F_0(x)-\frac{\frac{1}{F_0(x)}-G(x)}{-\frac{1}{F_0(x)^2}}\equiv F_0(x)(2-G(x)F_0(x))\pmod{x^n} \]

多项式开方(sqrt)

令

\[ H(F(x))=F^2(x)-G(x)\equiv 0\pmod{x^n} \]

则

\[ F(x)\equiv F_0(x)-\frac{F_0(x)^2-G}{2F_0(x)}\equiv \frac{1}{2}(F_0(x)+\frac{G(x)}{F_0(x)})\pmod{x^n} \]

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