屋子里有1到100号100盏关闭的灯

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屋子里有1到100号100盏关闭的灯,门外有1到100号100个人,每个人都要进屋一次,把与自己序号对应的和是自己序号倍数的灯绳拉一下,(比如1号要拉所有的灯绳,2号要拉2,4,6的灯绳,而100号只需拉100号灯绳)问:当100人都出来后,屋子里亮着的灯有几盏?


这么说呢，大家都知道答案是 平方数 1,4,9...100

ok，首先要想到肯定是拉灯拉了奇数次的才能是打开的。。。
想想如果编号为N，那么肯定是前面拉过N的i必定能整除N，所以肯定i是N的因数。。。
所以题目转换为求N，N的因数的个数是奇数。

1、只有平方数的因数是奇数，因为比如N = a*b，其中a和b不同的话，都是成对的，只有当a*a的时候，才只有一个因数，所以肯定是平方数。。。

2、来个高端大气的证明：
由唯一分解定理：p是素数，对应的a是p的指数,然后又唯一分解：  就是：

那么N的因数个数为多少呢？就是：s = (a1+1)*(a2+2)*...*(an+1)，组合数学了，取出0个、1个、an个的Pn来构成。

问题转为使得因数的个数 s 为奇数。。。这里就好想了嘛，肯定只能  奇数*奇数 = 奇数    ，所以，ai+1都是奇数，所以ai都是偶数。

既然所有的ai都是偶数,那么对于来说，不就可以把所有的ai提一个2出来么N = (P1^(a1/2) * P2^(a2/2) *...* Pn^(an/2) )^2 ，那么N就是一个完全平方数啦~~~

证明完毕！

屋子里有1到100号100盏关闭的灯

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