最小生成树

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

简单实例讲解过程的选择：

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

const int MAX = 100;
const int INF = 1<<30;
int V;
int d[MAX];
bool used[MAX];
int cost[MAX][MAX];//边的权值

int pirm(){
    //从代码上 类似于Dijkstra
    fill(d,d+V,INF);
    fill(used,used+V,false);
    d[0] = 0;
    int res = 0;
    while(true){
        int v == -1;
        for(int u=0;u<V;u++){
            if(!used[u] && (v==-1||d[v]>d[u])) v = u;
        }
        if(v == -1) break;
        used[v] = true;
        res += d[v];
        for(int u=0;u<V;u++){
            d[u] = min(d[u],d[v]+cost[v][u]);
        }
    }
    return res;
}

Kruskal算法：

const int MAX = 100;
int par[MAX],rank[MAX];

struct edge{
    int u,v,cost;
};
bool cmp(const edge& e1,const edge &e2){
    return e1.cost<e2.cost;
}
edge e[MAX];
int V,E;
int kruskal(){
    sort(e,e+E,cmp);
    init(V);    //并查集的初始化
    int res = 0;
    for(int i=0;i<E;i++){
       edge es = e[i];
       if(!same(e.u,e.v)){
        unite(e.u,e.v);
        res += e.cost;
       }
    }
    return res;
}
//并查集操作
void init(int n){
    for(int i=0;i<n;i++){
        par[i] = i;//数组编号
        rank[i] = 0; //树高
    }
}
int find(int x){
    if(par[x]==x)
        return x;
    else
        return par[x] = find(par[x]);
}
void unite(int x,int y){
    x = find(x);
    y = find(y);
    if(x==y) return;
    if(rank[x]<rank[y]){
        par[x] = y;
    }else{
        par[y] = x;
        if(rank[x]==rank[y]){
            rank[x]++;
        }
    }
}
bool same(int x,int y){
    return find(x) == find(y);
}