[hdu-5795]A Simple Nim 博弈 尼姆博弈 SG函数打表找规律

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【题目】题目链接

InputIntput contains multiple test cases. The first line is an integer 1≤T≤1001≤T≤100, the number of test cases. Each case begins with an integer n, indicating the number of the heaps, the next line contains N integers s[0],s[1],....,s[n−1]s[0],s[1],....,s[n−1], representing heaps with s[0],s[1],...,s[n−1]s[0],s[1],...,s[n−1] objects respectively.(1≤n≤106,1≤s[i]≤109)(1≤n≤106,1≤s[i]≤109)OutputFor each test case,output a line whick contains either"First player wins."or"Second player wins".

Sample Input

2
2
4 4
3
1 2 4

Sample Output

Second player wins.
First player wins

【题意】
类似尼姆游戏（n堆石子，两人轮流从一堆中取出若干石子），加入了一个操作：可以  不取走石子而是把石子分为三堆（每堆不可为空）
恰好将所有石子取完的一方胜

【题解】
普通尼姆博弈 n堆石子的后继状态为0~n-1，所有堆的石子数异或和为0时为必败状态。
而拆分操作，例如将10拆为2 3 5，实际上相当于后继状态 2^3^5=4，把7拆为1 2 3相当于后继状态1^2^3=7  
7的所有后继状态为  0  1 2 3 4 5 6 1^1^5 1^2^4 1^3^3 2^2^3 
然后用SG函数的性质打表就可以了（SG(X)=后继状态没有出现的最小自然数）
观察可以出 
SG(X)=X+1   (X%8==7)
SG(X)=X-1   (X%8==0)
SG(X)=X      其他

【SG定理】
P点：必败点，某玩家位于此点，只要对方无失误，则必败
N点：必胜点，某玩家位于此点，只要自己无失误，则必胜
定理：
1.所有总结点都是P点。
2.无论任何操作，必败点P只能进入必胜点N。
3.从任何必胜点N，至少有一种方式进入必败点P。

Mex运算：
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。
即：mex(S)=min{x}，x∈N,x∉S
例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

SG函数：

 定理1：

1.有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应的节点的SG函数值大于0。

2.有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应的节点的SG函数值等于0。

定理2：

多个有向图游戏组成的游戏{Gi,n}必胜，当且仅当有向图游戏的和SG函数值不为0.

【打表代码】

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int g[1010];
 4 void init() {
 5     memset(g, -1, sizeof(g));
 6 }
 7 int getSG(int x) {
 8     if(g[x] != -1) return g[x];
 9     if(x == 0) return 0;
10     if(x == 1) return 1;
11     if(x == 2) return 2;
12     int vis[110];
13     memset(vis, 0, sizeof(vis));
14     for(int i = 1; i < x; i++) {
15         int t = 0;
16         int a = getSG(i);
17         vis[a] = 1;
18         for(int j = 1; j < x - i; j++) {
19             int b = getSG(j);
20             int c = getSG(x - i - j);
21             vis[a^b^c] = 1;
22         }
23     }
24     vis[0] = 1;
25     for(int i = 0; ; i++) if(!vis[i])
26         return g[x] = i;
27 }
28 int main() {
29     int n;
30     init();
31     for(int i = 1; i <= 100; i++) {
32         g[i] = getSG(i);
33         printf("%d %d %d\n", i, i % 8, g[i]);
34     }
35 }

【AC代码】

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int getsg(int x){
 4     if(x%8==0)return x-1;
 5     if(x%8==7)return x+1;
 6     return x;
 7 }
 8 int main(){
 9     int t,n,c,ans;
10     scanf("%d",&t);
11     while(t--){
12         ans=0;
13         scanf("%d",&n);
14         for(int i=1;i<=n;i++){
15             scanf("%d",&c);
16             ans^=getsg(c);
17         }
18         if(ans)printf("First player wins.\n");
19         else printf("Second player wins.\n");
20     }
21     return 0;
22 }

[hdu-5795]A Simple Nim 博弈 尼姆博弈 SG函数打表找规律

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原文地址：https://www.cnblogs.com/conver/p/12200745.html