浅谈Cauchy不等式

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形式

\[ \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 \]

等号成立的条件：
\[ iff:b_i=0 || \exists k \in \mathbb {R},a_i=k \cdot b_i(i \in \mathbb{N^+}) \]

证明

法一：参数配方

思路：巧妙的把常数与方程结合起来，利用性质即可。

证明：

构造函数:
\[ f(t)=\sum_{i=1}^{n}b_i^2\cdot t^2-2\sum_{i=1}^{n}a_ib_it+\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \]
化简函数：
\[ f(t)=\sum_{i=1}^{n}b_i^2\cdot t^2-2\sum_{i=1}^{n}a_ib_it+\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \]

\[ =\sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2-2a_ib_it+a_i^2) \]

\[ =\sum_{i=1}^{n}(b_i^2t^2+a_i^2-2a_ib_it) \]

\[ =\sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2 \]

所以：
\[ f(t) \geq 0 \]

\[ \Delta t=b^2-4ac \]

\[ =4\sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2-4\times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \leq 0 \]

所以：
\[ 4\sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 \leq 4\times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \]

\[ \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \times \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2 \]

证毕。

因为：
\[ f(t)=\sum_{i=1}^{n}(b_it-a_i)^2 \]
令\(f(t)=0\)，即
\[ a_i=b_it \]
此时：
\[ f(t)_{min}=0? \]
即：
\[ \Delta t \leq 0 \]
故等号可取的一个充分条件即为：
\[ \exists k \in \mathbb {R},a_i=k \cdot b_i(i \in \mathbb{N^+}） \]

法二：均值不等式证明

思路：运用分析法将原式子化简，使用绝对值三角不等式与均值不等式进行证明。

引用到的均值不等式（证明略）：
\[ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \]
适用条件：
\[ a,b \in \mathbb {R^+} \]
等号成立条件：
\[ iff:a=b \]

证明：

要证：
\[ \sum_{i=1}^{n}a_i^2\sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 \]
开方得：
\[ \sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2} \geq |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \]
只需证：
\[ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq \sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2} \]

\[ \frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}\leq 1 \]

由绝对值三角不等式：
\[ |a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n| \leq |a_1|+|a_2|+|a_3|+ \cdots + |a_n| \]
可得：
\[ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq \sum_{i=1}^{n}|a_ib_i| \]
所以：
\[ \frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \leq \frac{\sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \]
又因为：
\[ \frac{\sum_{i=1}^{n}|a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \]

\[ =\sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}}\cdot \frac{|b_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \]

由均值不等式：
\[ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \]
可得：
\[ \sum_{i=1}^{n}\frac{|a_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}}\cdot \frac{|b_i|}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}} \]

\[ \leq \frac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^{n}(\frac{a_i^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ \frac{b_i^2}{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}) \]

\[ \leq \frac{1}{2}\cdot (\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}+ \frac{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}{\sum_{i=1}^{n}b_i^2}) \]

\[ \leq \frac{1}{2} \times 2 = 1 \]

即：
\[ \frac{|\sum_{i=1}^{n}a_ib_i|}{\sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2}}\leq 1 \]

\[ |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \leq \sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2} \]

\[ \sqrt {\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2} \geq |\sum_{i=1}^{n}a_ib_i| \]

\[ \sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \geq \sum_{i=1}^{n}a_i^{2}b_i^2 \]

证毕。

法三：n维向量证法

因为：
\[ |\vec a \cdot \vec b| \leq |\vec a|\cdot |\vec b| \]
所以：
\[ |\vec a \cdot \vec b|^2 \leq |\vec a|^2\cdot |\vec b|^2 \]
\(\vec a,\vec b\)为\(n\)维向量时，用坐标的形式展开即可证明。

当\(\vec a=k\vec b\)，即\(a\)，\(b\)共线时，等号成立。

申明与感谢

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• 感谢@thorn的审稿。

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