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生成树：
已知连通图G，图上有n个顶点。
生成树是指图G的一个极小（边最少）连通子图，生成树上有n个顶点，n-1条边，且任意两点之间都是联通的。
最小生成树：
已知带权连通图G，图中有n个顶点，每条边都有权值。
要从图中抽出一棵生成树，使得树上所有边权之和最小，这棵树就叫做最小生成树（Mininum Spanning Tree，MST）。
常见解法有Kruskal算法和Prim算法。
Kruskal算法：
定义带权无向图G的边集合为E，再定义最小生成树的边集合为T，初始集合T=空。
1.首先把图G看成一个有n棵树的森林，图上每个顶点对应一棵树；
2.然后把边集E的每条边，按照权值从小到大进行排序；
3.按边权从小到大的顺序遍历每条边e=(u,v)，我们记顶点u所在的树为Tu，顶点v所在的树为Tv，如果Tu和Tv不是同一棵树，则我们将边e加入集合T，并将两棵树Tu和Tv进行合并；否则不进行任何操作。
算法执行完毕后，如果集合T包含n-1条边，则T就代表最小生成树中的所有边。
第三步操作需要对集合进行合并操作，因此要用并查集来维护。
算法复杂度：若使用快排则复杂度为O(ElogE)，总时间复杂度为O(ElogE+Vα(V))，其中α(V)可近似被当作常数。
带详细解释の模板：
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; const int MAX_N = 100000; // 最大顶点数 const int MAX_M = 100000; // 最大边数 struct edge { int u, v, w; }e[MAX_M]; int fa[MAX_N], n, m; // fa 数组记录了并查集中结点的父亲 bool cmp(edge a,edge b) { return a.w < b.w; } // 并查集相关代码 int ancestor(int x) { // 在并查集森林中找到 x 的祖先，也是所在连通块的标识 if(fa[x] == x) return fa[x]; else return fa[x] = ancestor(fa[x]); } int same(int x, int y) { // 判断两个点是否在一个连通块（集合）内 return ancestor(x) == ancestor(y); } void merge(int x, int y) { // 合并两个连通块（集合） int fax = ancestor(x), fay = ancestor(y); fa[fax] = fay; } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); // n 为点数，m 为边数 for (int i = 1; i <= m; i++) { scanf("%d%d%d", &e[i].u, &e[i].v, &e[i].w); // 用边集数组存放边，方便排序和调用 } sort(e + 1, e + m + 1, cmp); // 对边按边权进行升序排序 for (int i = 1; i <= n; i++) { fa[i] = i; } int rst = n, ans = 0; // rst 表示还剩多少个集合，ans 保存最小生成树上的总边权 for (int i = 1; i <= m && rst > 1; i++) { int x = e[i].u, y = e[i].v; if (same(x, y)) { continue; // same 函数是查询两个点是否在同一集合中 } else { merge(x, y); // merge 函数用来将两个点合并到同一集合中 rst--; // 每次将两个不同集合中的点合并，都将使 rst 值减 1 ans += e[i].w; // 这条边是最小生成树中的边，将答案加上边权 } } printf("%d\n", ans); return 0; }
自用模板：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=1e5+10;//最大顶点数 const int maxm=1e5+10;//最大边数 struct edge { int u,v,w; /* bool operator <(const edge &a)const { return w<a.w; } */ } e[maxm]; int fa[maxn],n,m; bool cmp(edge a,edge b) { return a.w<b.w; } int get(int x) { if(fa[x]==x)return fa[x]; return fa[x]=get(fa[x]); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w); sort(e+1,e+1+m,cmp); for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i; int rest=n,ans=0; for(int i=1;i<=m&&rest>1;i++) { int x=get(e[i].u),y=get(e[i].v); if(x!=y) { fa[x]=y; rest--; ans+=e[i].w; } } printf("%d\n",ans); return 0; }
最小生成树的应用：
例一：最大边权最小的生成树
给定一个无向连通图，求出它所有生成树中最大边权最小的一棵。
解法：可二分，枚举生成树的边权上界之后判定是否存在边权不超过限制的生成树。
正解为直接求最小生成树，因为最小生成树中的最大边一定是所有生成树中最小的（联系最小生成树的生成原理）。
例二：次小生成树
给定一个无向连通图，求出它的边权总和第二小的生成树。
解法：枚举最小生成树上的n条边，对于其中某条边，从图中删除它以后计算剩余图的最小生成树，一共n-1棵。从这n-1棵生成树中找出最小的一颗，就是整个图的次小生成树。
例三：边权极差最小生成树
给定一个无向连通图，求它所有生成树中，最大边权和最小边权之差最小的生成树。
解法：利用例题一中给出的性质，枚举生成树上的最小边权minw，计算边权最小为minw的最小生成树，用当前最小生成树的最大边减去最小边来更新最终答案。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/myrtle/p/12208045.html
