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勾股数

时间:2020-01-19 22:23:41      阅读:107      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:array   inline   es5   等于   规律   end   名著   分析   isp   

前言

勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。勾股定理:直角三角形两条直角边\(a\)\(b\)的平方和等于斜边\(c\)的平方\(a^2+b^2=c^2\).
部分来源于知乎。

常用勾股数

高中阶段常用的勾股数\([3n,4n,5n(n\in N^*)]\)\([5,12,13]\)\([7,24,25]\)\([8,15,17]\)\([9,40,41]\)

构造方法

勾股数\(x\)\(y\)\(z\)的构造方法如下,其中\(a,b,k\in N^*\)\(x=k(a^2-b^2)\)\(y=2kab\)\(z=k(a^2+b^2)\)

[原理解释]:

\(x^2+y^2=k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^4-2a^2b^2+4a^2b^2+b^4)\)

\(=k^2(a^2+b^2)^2=[k(a^2+b^2)]^2=z^2\)

使用举例

如令\(a=2\)\(b=1\),则勾股数为\(x=3k\)\(y=4k\)\(z=5k\)

如令\(a=3\)\(b=2\),则勾股数为\(x=5k\)\(y=12k\)\(z=13k\)

典例剖析

例4【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第14题】我国古代数学名著《周髀算经》记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为\(a^2+b^2=c^2\)\((a,b,c\in N^*)\),我们把\(a,b,c\)成为勾股数,下面给出几组勾股数:\(3,4,5\)\(5,12,13\)\(7,24,25\)\(9,40,41\)\(\cdots\),以此类推,可猜测第五组勾股数为__________ 。

分析:
\[\begin{array}{ccc} 3&4&5\2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\5&12&13\2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\7&24&25\2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\9&40&41\2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\11&60&61\2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\13&84&85\2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\15&112&113\2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\end{array}\]

故第五组勾股数为\(11,60,61\)

推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律:

\(a=2\times n+1\)\(b=2\times(n+1)+1\)\(c=2\times n\times (n+1)+1\)

勾股数

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12213268.html

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