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勾股数又名毕氏三元数 。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。勾股定理:直角三角形两条直角边\(a\)、\(b\)的平方和等于斜边\(c\)的平方\(a^2+b^2=c^2\).
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高中阶段常用的勾股数\([3n,4n,5n(n\in N^*)]\);\([5,12,13]\);\([7,24,25]\);\([8,15,17]\);\([9,40,41]\);
勾股数\(x\),\(y\),\(z\)的构造方法如下,其中\(a,b,k\in N^*\),\(x=k(a^2-b^2)\),\(y=2kab\),\(z=k(a^2+b^2)\);
[原理解释]:
\(x^2+y^2=k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^4-2a^2b^2+4a^2b^2+b^4)\)
\(=k^2(a^2+b^2)^2=[k(a^2+b^2)]^2=z^2\)
如令\(a=2\),\(b=1\),则勾股数为\(x=3k\),\(y=4k\),\(z=5k\);
如令\(a=3\),\(b=2\),则勾股数为\(x=5k\),\(y=12k\),\(z=13k\);
分析:
\[\begin{array}{ccc}
3&4&5\2\times1+1&2\times1\times(1+1)&2\times1\times(1+1)+1\5&12&13\2\times2+1&2\times2\times(2+1)&2\times2\times(2+1)+1\7&24&25\2\times3+1&2\times3\times(3+1)&2\times3\times(3+1)+1\9&40&41\2\times4+1&2\times4\times(4+1)&2\times4\times(4+1)+1\11&60&61\2\times5+1&2\times5\times(5+1)&2\times5\times(5+1)+1\13&84&85\2\times6+1&2\times6\times(6+1)&2\times6\times(6+1)+1\15&112&113\2\times7+1&2\times7\times(7+1)&2\times7\times(7+1)+1\\end{array}\]
故第五组勾股数为\(11,60,61\);
推广得到第\(n\)组勾股数的组成规律:
\(a=2\times n+1\),\(b=2\times(n+1)+1\),\(c=2\times n\times (n+1)+1\),
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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12213268.html