标签：语句 log 相同 判断语句 规模 简化 mes char 次方
假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算。
int main(int argc, char** argv)
{
printf("Hello, World!\n"); // 需要执行 1 次
return 0; // 需要执行 1 次
}
总共执行2次。时间复杂度为O(1).
把算法需要执行的运算次数用输入大小n的函数 表示，即 T(n) 。为了估算算法需要的运行时间和简化算法分析，我们引入时间复杂度的概念。
算法的时间复杂度，用来度量算法的运行时间，记作: T(n) = O(f(n))。它表示随着 输入大小n 的增大，算法执行需要的时间的增长速度可以用 f(n) 来描述。
如果 T(n) = n^2，那么 T(n) = O(n^2)，T(n) = O(n^3)，T(n) = O(n^4) 都是成立的，但是因为第一个 f(n) 的增长速度与 T(n) 是最接近的，所以第一个是最好的选择，
所以我们说这个算法的复杂度是 O(n^2) 。
1）计算出基本操作的执行次数T(n)
2）计算出T(n)的数量级，即 忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
3）用大O来表示时间复杂度
简化一下：
1）找到执行次数最多的语句
2）计算语句执行次数的数量级
3）用大O来表示结果
总结：
1）取决于执行次数最多的语句，如当有若干个循环语句时，算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度f(n)决定的。
2）如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)
3）算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模，还与输入实例的初始状态有关。
原则1：常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。
原则2：高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。 同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。
如：T(n) = n^3 + n^2 + 29
时间复杂度为 O(n^3)
原则3：函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。
如：T(n) = 3n^3
时间复杂度为 O(n^3)
总的来说，如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为 大O推导法。
由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。
法则1：对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。
void aFunc(int n) {
for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n
printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1)
}
}
时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。
法则2：对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为 O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。
void aFunc(int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++) { // 循环次数为 n
for(int j = 0; j < n; j++) { // 循环次数为 n
printf("Hello, World!\n"); // 循环体时间复杂度为 O(1)
}
}
}
此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。
法则3：对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。
void aFunc(int n) {
// 第一部分时间复杂度为 O(n^2)
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
printf("Hello, World!\n");
}
}
// 第二部分时间复杂度为 O(n)
for(int j = 0; j < n; j++) {
printf("Hello, World!\n");
}
}
时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。
法则4：对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中 时间复杂度最大的路径 的时间复杂度。
void aFunc(int n) {
if (n >= 0) {
// 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n; j++) {
printf("输入数据大于等于零\n");
}
}
} else {
// 第二条路径时间复杂度为 O(n)
for(int j = 0; j < n; j++) {
printf("输入数据小于零\n");
}
}
}
时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。
时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。
void aFunc(int n) {
for (int i = 2; i < n; i++) {
i *= 2;
printf("%i\n", i);
}
}
假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道算法花费的时间多少。
一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=Ｏ(f(n))。
称Ｏ(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
注意：时间频度与时间复杂度是不同的，时间频度不同但时间复杂度可能相同。
如：T(n)=n^2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n^2)。
最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
为什么使用的是最坏时间复杂度？
原因：
1）最差情况下的复杂度都能满足，其他情况也不会有问题
2）平均复杂度计算难；很多算法的平均情况和最差情况的复杂度一样；输入数据的分布函数可能不知道
在最坏情况下的时间复杂度为T(n)=0(n)，它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0(n)。 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。指数阶0(2n)，显然，时间复杂度为指数阶0(2n)的算法效率极低，当n值稍大时就无法应用。
平均时间复杂度：平均时间复杂度也是从概率的角度看，更能反映大多数情况下算法的表现。当然，实际中不可能将所有可能的输入都运行一遍，因此平均情况通常指的是一种数学期望值，而计算数学期望值则需要对输入的分布情况进行假设。平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。
常见的时间复杂度有：
常数阶O(1)<对数阶O(log2n)<线性阶O(n),<线性对数阶O(nlog2n)<平方阶O(n^2)<方阶O(n3)<k次方阶O(n^k)<指数阶O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
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