标签：子函数 arp class lin display 个数 limits sigma 常见
人老了，记性就不好，这个文章主要是整理一些定理，方便后面复习。没有证明。
\[\epsilon(n)=[n=1]\]
\[\varphi(n)=n\sum(1-\frac{1}{p_i})\]
表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。
\[\mu(x)=\begin{cases}1 &(x=1)\(-1)^k & x=p_1p_2...p_k\\ 0 & else\end{cases}\]
\[d(n)=\sum\limits_{i|n}1\]
\[\sigma_k(n)=\sum\limits_{d|n}d^k\]
易知\(\sigma_0(n)=d(n)\)
\(\sigma_1(n)\)一般记作\(\sigma(n)\)
\[1(n)=1\]
\[Id_k(n)=n^k\]
特别的，\(Id_1(n)\)常记作\(Id(n)\)
对于两个数论函数\(f\)，\(g\)
\[f*g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]
其中*为狄利克雷卷积的运算符号。如果f和g为积性函数，那么\(f*g\)也为积性函数。
1.对于任意的数论函数f有
\[f*\epsilon=f\]
2.\[Id = 1*\varphi\]
3.\[\epsilon=1*\mu\]
4.\[\sigma_k=1*Id_k\]
如果\(g=f*1\)
那么有\(f=f*\epsilon=f*1*\mu=g*\mu\)
莫比乌斯反演常用卷积：\(\mu*1=\epsilon,Id=1*\varphi\)
\(\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}{x}\rfloor=\lfloor\frac{n}{ix}\rfloor\)
\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\sum\limits_{i=1}^nd(i)\)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wxyww/p/shulun.html
