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阿波罗尼斯圆

时间:2020-01-21 23:51:02      阅读:58      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:lam   math   最大值   spl   阿波罗   mat   inline   line   三角形   

[教材出处]

已知点 \(M\) 与两个定点 \(O(0,0),A(3,0)\) 的距离的比为 \(\dfrac{1}{2}\),求点 \(M\) 的轨迹方程.

解析

\(M(x,y)\),依题意有 \(\dfrac{MO}{MA}=\dfrac{1}{2}\),即:\[\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x-3)^2+y^2}}=\dfrac{1}{2}\]化简得:\[(x+1)^2+y^2=4\]则点 \(M\) 是以 \((-1,0)\) 为圆心,\(2\) 为半径的圆.

定理

给定平面内两点 \(A,B\),设点 \(P\) 在同一平面内且满足 \(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\),当 \(\lambda>0\)\(\lambda\neq1\) 时,点 \(P\) 的轨迹是一个圆,称为 阿波罗尼斯圆 .

证明

\(A(-a,0),B(a,0),P(x,y),(a>0)\),由 \(\dfrac{PA}{PB}=\lambda\) 得:\[\dfrac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}=\lambda\]化简得:\[x^2+y^2+\left(\dfrac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)\cdot2ax+a^2=0\]\(\lambda>0\)\(\lambda\neq1\) 时,\(D^2+E^2-4F=4a^2\left[\left(\dfrac{1+\lambda^2}{1-\lambda^2}\right)^2-1\right]=\)\(4a^2\left(\dfrac{4\lambda^2}{(1-\lambda^2)^2}\right)>0\),则点 \(P\) 是以 \(\left(\left(\dfrac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)a,0\right)\) 为圆心,\(\dfrac{2\lambda a}{|\lambda^2-1|}\) 为半径的圆 .

习题

  1. \(AB=2,AC=\sqrt{2}BC\),则 \(S_{\triangle ABC}\) 的最大值是______.

  2. 在等腰三角形 \(ABC\) 中,\(AB=AC\),若 \(AC\) 边上中线长为 \(6\) ,则 \(S_{\triangle ABC}\) 的最大值为______.

  3. \(O_1\) 与圆 \(O_2\) 的半径都是 \(1\),\(O_1O_2=4\) ,过动点 \(P\) 分别作圆 \(O_1\) 与圆 \(O_2\) 的切线 \(PM,PN\)\((M,N\)分别为切点\()\),使得 \(PM=\sqrt{2}PN\) . 建立适当坐标系,求动点 \(P\) 的轨迹方程.

  4. 已知直角坐标平面上点 \(Q(2,0)\) 和圆 \(C:x^2+y^2=1\),动点 \(M\) 到圆 \(C\) 的切线长与 \(|MQ|\) 的比等于常数 \(\lambda(\lambda>0)\) . 求动点 \(M\) 的轨迹方程,说明它是什么曲线 .

阿波罗尼斯圆

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原文地址:https://www.cnblogs.com/lbyifeng/p/12227148.html

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