标签：可能性 规律 出现 两种 一个 等价 进制 证明 理论
我只是一只蒟蒻搬运工，参考大佬课件和一下博客
https://www.cnblogs.com/wangtianxj/archive/2008/11/01/1324248.html
https://www.cnblogs.com/ww3113306/p/10281575.html
https://www.cnblogs.com/nanjoqin/p/10211576.html
https://www.cnblogs.com/zjp-shadow/p/10507030.html
https://blog.csdn.net/qq1169091731/article/details/51942752
https://blog.bill.moe/Codeforces-round460-div2-F-Game/
https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8469862.html
公平组合博弈(ICG)定义：
（1）只有两人参与。
（2）游戏局面的状态集合是有限。
（3）对于同一个局面，两个游戏者的可操作集合完全相同。
（4）游戏者轮流进行游戏。
（5）当无法进行操作时游戏结束，此时不能进行操作的一方算输。
（6）无论游戏如何进行，总可以在有限步数之内结束。
局势：
P代表Previous，N代表Next。
上一次move的人有必胜策略的局面是P-position，也就是“先手必败”（奇异局势），
现在轮到move的人有必胜策略的局面是N-position,也就是“先手可保证必胜”(非奇异局势）。
（1）.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position）是P-position；
（2）.可以移动到P-position的局面是N-position；
（3）.所有移动都导致N-position的局面是P-position。
ICG的转化：
给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。
其实，任何一个ICG都可以通过把每个局势看成一个顶点，对每个局势和它的子局势连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”
一个性质：ICG不存在平局
可以移动到P-position的局面是N-position；所有移动都导致N-position的局面是P-position。
假设存在一种状态为平局。根据定义，平局的后继局面不存在P-position，也不都是N-position，那么平局的后继必然存在平局。
对于某个平局，不断地移动到其后继的某个平局中，由于ICG总能在有限步内结束，因此这样的移动最终在有限步后会到达terminal-position——P-position。也就是说，某个平局的后继局面中存在P-position。这样就与平局的特点产生了矛盾，因此平局不存在。
推论：有环存在 => 平局存在
一般平局存在的情况即不是ICG博弈，不保证一定能在有限步内结束游戏。我们已经知道平局的后继一定是平局，那么如果无环的话就意味着平局各不相同，有无限种可能，因此平局存在就意味着有环存在（自环也可）。
下面是三个最简单的模型：
Bash Game：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
Wythoff Game：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k，奇异局势有如下三条性质：
1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。
2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上，若只改变奇异局势（ak，bk）的某一个分量，那么另一个分量不可能在其他奇异局势中，所以必然是非奇异局势。如果使（ak，bk）的两个分量同时减少，则由于其差不变，且不可能是其他奇异局势的差，因此也是非奇异局势。
3、采用适当的方法，可以将非奇异局势变为奇异局势
假设面对的局势是（a,b），
1).若 b = a，则同时从两堆中取走 a 个物体，就变为了奇异局势（0，0）；
2).如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk个物体，即变为奇异局势；
3).如果a = ak，b < bk ,则同时从两堆中拿走ak-ab-ak个物体,变为奇异局势（ab-ak, ab - ak+ b - ak）；
4).如果a > ak ，b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可；
5).如果a < ak ，b= ak + k,分两种情况，
第一种，a=aj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - bj 即可；
第二种，a=bj （j < k）,从第二堆里面拿走 b - aj 即可；
从如上性质可知，两个人如果都采用正确操作，那么面对非奇异局势，先拿者必胜；反之，则后拿者取胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[(1+√5)/2]k，bk= ak + k=[(3+√5)/2]k（k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数）
即对于给定的(a,b)，若[(1+√5)/2](a-b)=a，则为奇异局势
证明：
Betty定理：对于任意满足1/a+1/b=1,的正无理数a，b，都有结论：[a]，[2a]，[3a]，[4a]......[b]，[2b]，[3b]，[4b]......都是不同的数，而且覆盖正整数集。
证明：对于任意正整数n，考虑[a]，[2a]，[3a]，[4a]......里面有多少个数小于n
已知 [ka]<n 当且仅当 ka<n 即，k<n/a （k为整数）
因为n/a是无理数，所以上式还等价于k<=[n/a]
所以说，[a]，[2a]，[3a]，[4a]......里面有[n/a]个数小于n
同理，[b]，[2b]，[3b]，[4b]......里面有[n/b]个数小于n
又因为1/a+1/b=1, 所以n/a+n/b=n，且n/a和n/b都是无理数，所以[n/a]+[n/b]=n-1
所以说，对于任意正整数n，[a]，[2a]，[3a]，[4a]......[b]，[2b]，[3b]，[4b]......中有n-1个数小于n
由此，可以利用数学归纳法推出betty贝蒂定理。
简述如下：
考虑[a]，[2a]，[3a]，[4a]......[b]，[2b]，[3b]，[4b]......中每个正整数有多少个
有1个数小于2，所以有1个1
有2个数小于3，所以有1个2
有3个数小于4，所以有1个3
......
就这样，利用数学归纳法，可以得到每个正整数都有且仅有1个。
并且, 对于a、b, 如果a=b-1, 则[ka]=[kb]-k
假设存在这样的a、b, 即有方程组
1/a+1/b=1 => ( ka , kb )中每个正整数出现且仅出现一次
a=b-1 （这就是奇异局势的性质一啊）
ak =[(1+√5)/2]k，bk= ak + k=[(3+√5)/2]k
因此，这样的(ak,bk)就是所有的奇异局势（k从0开始的话，(0,0)也就算在里面了）
Nimm Game: 有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
奇异局势： （0，0，0）
（0，1，1），（1，2，3）
可看出以下三条性质：
1.（a，b，c）为奇异局势 ó a ^ b ^ c=0
2.任意操作都能将奇异局势变成非奇异局势
3.总有操作可以将非奇异局势变成奇异局势
证明：
设满足（a，b，c）：a^b^c=0 的局势为p局势
对于一个p（a，b，c），有a^b^c=0，任意改变abc中的一个数，则总体的异或结果发生改变，即不为0。因此任意操作能将p局势变成非p局势。
对于一个非p局势（a，b，c），有a^b^c=x>0，设x的二进制中最高的1在第k位，则abc中一定存在一个二进制第k位为1的数m，且m xor x<m，所以将m变成m xor x，又由于异或满足交换律，因此改变后的异或和可写成a^b^c^x，这个式子的结果一定为0。因此一定存在操作能将非p局势变为p局势。
已知（0，0，0）为p局势，根据第二条，任何其他的p局势不能一次操作就变成（0，0，0），只有某些非p局势才能进行一次操作后变成（0，0，0）；由于（a，b，c）中abc是在一直减少的，一定会在某一步到达（0，0，0），因此如果面对非p局势的选手总将当前的非p局势变成p局势，那么面对p局势的选手将一直面对p局势，直到最终面对（0，0，0）这一p局势。
也就是说，只要面对非p局势的选手总将非p局势变成p局势，面对p局势的选手必败。
因此，p局势即为奇异局势。
按照这种理论，nim博弈还可以进行延伸：有n堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，最后取光者获胜。
设某一局势为（x1，x2，x3...，xn），那么满足x1^x2^x3 ...^xn =0的局势为奇异局势。
奇异局势的性质与开始的问题完全一致，证明方法也完全一样。
由Nim Game我们可以推广出SG函数：
SG游戏：公平的无法操作的一方算输
mex(minimal excludant)运算：这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0。特别的，mex{}=0。
SG函数：对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。
性质：
由sg函数定义易证：terminal-position的sg值为0，为P状态；
由定义易得（参考前面Nim游戏的性质）1)sg值为0的状态后继状态sg值都不为0
2)sg值不为0的状态后继状态一定存在sg值为0的状态。
（一定没有sg值为x的后继状态，但是可能有大于x的后继状态）
根据定义定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。易得
因此我们可以将这类有向图博弈都类比（注意是类比不一样）为1维Nim游戏：
Nim游戏：只有一堆石子数量为K，可以把石子数量变成0到K-1
SG函数：当前SG函数值为下，通过一次操作得到的后继SG函数值可以为0到x-1
（当然Nim游戏SG只能递减）
由此处，假如我们面对这样的问题：
对于有向无环图，n个起点处有棋子，两个人轮流移动一个棋子一步，谁无法移动就失败。
那么每一个棋子的状态都可以用sg值来描述，也就是说n个棋子就可以等同于n维Nim游戏。（并不是完全等同，因为sg函数可以增加）
SG定理：n个游戏的某个状态的sg值等于每个游戏状态sg值的异或和。
就是说，上述的一图多棋子游戏，或者干脆是Nim游戏，它的状态如果是（sg1 sg2 ... sgn），那么整个抽象成一棋子游戏或者一维Nim游戏的话（因为它也是ICG游戏），这个状态的sg值为 sg1^sg2 ...^sgn。
这样，复杂的博弈问题，如果能分解成若干个有向图游戏（ICG博弈），就能将其转化成n维Nim游戏，从而转化为1维Nim游戏进行解决。
根据SG函数的性质我们可以把SG函数和Nim游戏联想起来：
Nim游戏规则选择一堆数目为k的石子，我们可以把这堆石子的数目变为0到k-1
把n枚棋子所在点的SG值看作n堆该数量的棋子，
这个Nim游戏的每个必胜策略都对应现在这n个棋子游戏的必胜策略
解决的关键在于找到问题的sg函数定义的方式，或者说抽象成n堆石子Nim游戏的方式。
注意Nim的SG只能递减但其实SG游戏的SG并不一定递减，只是一个类比，严谨的证明在前面
在引入SG函数之后我们接着引入这些模型：
Bash Game II：两个人玩游戏，有一堆石子，事先给定一个数集 S每次仅从一堆中取且可以取的石子的数量 x∈S，无子可取者为负，问谁有必胜策略。
Anti-Nim：规则同Nim游戏，只不过是取走最后一个棋子的人输。
先手必胜当且仅当：
（1）游戏的 SG 值为 0 且 所有堆的石子数都为 1。
（2）游戏的 SG 值不为 0 且 有些堆的石子数大于 1。
当所有堆的石子数都为1时，堆数为偶数时先手必胜，sg=0。
当至少有一堆石子数大于1时，分为两种情况：
所以此时必有至少两堆石子数目大于1，因此只能转为至少有一堆石子数大于1且sg不为0的情况。
若只有一堆石子数目大于1，则可以转为奇数堆数目为 1的石子，先手必胜；
若有至少两堆石子数目大于1，则可以将sg转为0，就是1的情况。
因此当至少有一堆石子数大于1时，先手方最终总是可以面对2的第一种情况，从而必胜。
推广：Anti-SG：规则同SG游戏，但无法操作的人赢
Anti-SG与Anti-Nim的区别：
在anti-nim游戏中，子游戏即一维nim游戏有一个特点：sg值只能下降并且sg值为0时游戏结束。
那么对于一些其他不满足这样特点的游戏，当它们作为子游戏时，总的游戏还满足这样的规律吗？
1.sg值可以上升，sg为0时游戏结束。
满足。 若对方属于已知结论中的必败态，且对方使单一游戏的sg值上升，我方可以将sg值降回原来的值，相当于对方的操作无效，但这个单一游戏的局势是向终点靠近的，而终点sg值为0，因此总会到达sg值只能下降的状态。
2.sg值可以上升，sg为0时游戏不一定结束。
不满足。 因为结论中当我方面对sg值为0状态时，我方已经胜利，但在此条件下我方必须操作，这样就存在可能性在之后使对方面对sg为0的状态，而对于普遍的游戏我们又无法对面对的sg为0的状态的与奇偶性相关的性质进行分析，从而我方可能输。
SJ定理：对于任意一个 Anti-SG 游戏，如果我们规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束，则先手必胜当且仅当：
（1）游戏的 SG 函数为 0 且 游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于 1；
（2）游戏的 SG 函数不为 0 且 游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于 1；
需要证明如下3种情况：
1，所有终止局面为先手必胜.(终止局面指决策集合为空的局面,即无法决策)
2，游戏中任何一个先手必败局一定只能转移到先手必胜局。
3，游戏中的任何一个先手必胜局一定能转移到至少一个先手必败局。
情况一： 局面的SG函数为0 且 游戏中存在单一游戏的SG函数大于1.
∵当前局面的SG函数为0，又∵SG函数性质(1)
∴它所能转移到的任何一个局面的SG值不为0
∵当前局面的SG值为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1.
∴当前局面中必定至少有2个单一游戏的SG函数大于1（如果只有一个可以得到一个单一游戏SG全为0的局面，即得到了一个SG为0的后继局面 => 矛盾）
又∵每次至多只能更改一个单一游戏的SG值
∴情况一能转移到的任何一个局面都满足：SG!=0 且 至少有一个单一游戏的SG值大于1
（情况三，所以任何一个后继局面先手必胜，此情况先手必败）
情况二： 局面的SG函数不为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1
可以发现，当前局面一定有奇数个游戏的SG值为1，其余游戏的SG值为0.
1， 将某个单一游戏的SG值更改为大于1的数。
∵转移前没有单一游戏的SG值大于1，而转移将某个单一游戏的SG值更改为大于1的数∴转移后的局面一定有且只有一个单一游戏的SG值大于1
∴后继局面的SG值一定不为0
∴后继局面满足：SG!=0 且 有且只有一个单一游戏的SG值大于1
（情况三1，所以任何一个后继局面先手必胜，此情况先手必败）
2 将某个单一游戏的SG值更改为0或1.
∵转移是将某个SG值为0的单一游戏改成SG值为1的单一游戏，或将某个SG值为1的单一游戏改成SG值为0的单一游戏。
因为当前SG!=0，所以SG=1的单一局面一定为奇数个（因为SG=单一游戏sg的异或和）
∴转移后的局面一定是偶数个SG值为1的单一局面,且不含有SG值大于1的局面；
（这样的局面先手必胜，所以任何一个后继局面先手必胜，此情况先手必败）
综上：此情况先手必败
情况三： 局面的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1.
选择更改SG最大的单一游戏，可以将其更改为0或1来保证转移后的局面有且只有奇数个SG值为1的单一游戏。(同anti-nim游戏)（先手必胜）
根据SG函数性质2，总存在一种决策可以将后继局面的SG值变为0.
∵局面中至少有2个单一游戏的SG值大于1（若只有一个先手必胜SG不为0）
又∵每次最多只能改变一个单一游戏的SG值。
∴后继局面中至少有一个游戏的SG值大于1（情况一）
（后继局面存在先手必败，此局面先手必胜）
情况四： 局面的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1.
当局面中所有单一游戏的SG值为0时，游戏结束，先手必败。
否则，局面有且仅有偶数个SG值为1的单一游戏，其余游戏的SG值为0.
我们只需要将其中的某一个SG值为1的单一游戏的SG值变为0，游戏中即可出现奇数个SG值为1的单一游戏，到达先手必败态
（后继局面存在先手必败，此局面先手必胜）
Multi-sg：有n堆石子，两个人可以从任意一堆石子中拿任意多个石子(不能不拿)或把一堆数量不少于2石子分为两堆不为空的石子，没法拿的人失败。
同样可以用sg函数来定义局面。一堆石子是一个游戏，将一堆石子分成两堆是这个游戏的一种状态，而这两堆同样可以看做独立游戏，因此这一堆石子衍生的石子堆的总的sg值等于各个sg值的异或和，从而整个局面的sg值都可以如此定义。
Multi-SG 游戏规定，在符合拓扑原则的前提下，一个单一游戏的后继可以为多个单一游戏。
Multi-SG 其他规则与 SG 游戏相同
对于上面的特定的例子，有这样的结论：
SG= x-1（x%4=0）
x（x%4=1 or 2）
x+1（x%4=3）
Every-sg： 1.对于任意单一游戏，如果还未结束，那么就必须操作。
2.其他规则同SG游戏。
需要尽早把能输的都输光，只留下必胜的游戏。那么要让必胜的游戏持续的轮数更多、让必败的游戏持续的轮数更少。
对每个单一游戏，我们可以定义函数step(x)为最优步数，即：
那么当step的最大值为奇数时先手必胜。
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