[题解] LuoguP4381 [IOI2008]Island

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LuoguP4381 [IOI2008]Island

Description

一句话题意：给一个基环树森林，求每棵基环树的直径长度的和（基环树的直径定义与树类似，即基环树上一条最长的简单路径），节点总数不超过\(10^6\)。

Solution

问题就是如何求基环树的直径。

首先树的直径的话可以直接\(dp\)，那如果有一个环怎么办？

这个环上会挂着几棵树，那么直径只会有两种情况

• 不经过环上的边，即每棵树直径的最大值
• 经过一个环，即挂在换上的两棵树\(i,j\)的深度和在加上\(i,j\)在环上的距离

第一种情况直接树形\(Dp\)求一下树的直径就好了。

第二种情况有点麻烦，为了方便下面令\(tree(x)\)表示以\(x\)为根挂在环上的树，\(depth(T)\)表示树\(T\)的深度，\(dist(i,j)\)表示环上两点之间只走环上的边的最大距离（\(i,j\)在环上只有两条路径）。

那这种情况的答案就是\(\max\limits_{i \not= j} \{depth(tree(i)) + depth(tree(j)) + dist(i,j)\}\)

下面令\(v_1,v_2,...,v_s\)表示大小为\(s\)（点的个数）的环上以逆时针或顺时针的访问顺序依次访问到的\(s\)个点，\(sum_i\)表示从\(v_1\)按顺序走走到\(v_i\)的环上路径长度。

那么点\(i\)按一个方向走到点\(j\)的环上长度就是\(sum_j - sum_i\)。

我们可以把环复制两倍，然后就能够处理第\(2\)个方向的距离。

即\(v\)变为\(v_1,v_2,...,v_{s},v_{s+1},...,v_{2s}\)，那么\(v_i\)与\(v_j\)(\(1 \le i<j \le 2s, abs(i-j) < n\))的最大距离\(dist(i,j)\)就是\(max(sum_j - sum_i, sum_{i+s} - sum_j)\)

这样的话就可以单调队列维护，扫一次\(v_{1...2s}\)就行了。

找环的话可以在\(Dfs\)树上找，不卡栈空间的（至少\(Luogu\)是这样......）

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename tp> inline void read(tp &x){
    x=0; tp f=1; char ch=getchar();
    for (;!isdigit(ch);ch=getchar())f=ch=='-'?-f:f;
    for (;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
    x=x*f;
}
#define pb push_back
#define same(e1,e2) (min(e1^1,e1)==min(e2^1,e2))
typedef long long ll;
const ll INF=1e18;
const int N=2e6+10;
int cnt=1,fst[N],nxt[N<<1],to[N<<1];ll dis[N<<1];
inline void ade(int x,int y,ll w){
    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=fst[x],fst[x]=cnt;
    dis[cnt]=w;
}
inline void addedge(int x,int y,ll w){ade(x,y,w),ade(y,x,w);}
vector<int>ring[N]; int tot=0,dep[N],fa[N];
void dfs(int x,int deep,int lste,int prev){
    dep[x]=deep,fa[x]=prev;
    for (int i=fst[x];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i]; //printf("%d->%d\n",x,v);
        if (dep[v]==0) dfs(v,deep+1,i,x);
        else if (!same(i,lste)&&dep[v]<dep[x]){
            ++tot;for (int nw=x;nw!=v;nw=fa[nw])ring[tot].pb(nw);
            ring[tot].pb(v);
        }
    }
}
int mark[N];ll dp[N],mxdp;
void DP(int x,int prev){
    for (int i=fst[x];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i]; if (mark[v]||v==prev) continue;
        DP(v,x);
        mxdp=max(dp[x]+dp[v]+dis[i],mxdp);
        dp[x]=max(dp[x],dp[v]+dis[i]);
    }
}
int vis[N],id[N],tim;ll a[N],b[N];
void getW(int x,ll dd,int lste){
    vis[x]++,id[++tim]=x,b[tim]=dd;
    for (int i=fst[x];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i]; if (!same(i,lste)&&mark[v]&&vis[v]<2)getW(v,dd+dis[i],i);
    }
}
int q[N];
ll solve(int k1){
    int len=ring[k1].size(); ll ans=0;
    for (int i=0;i<len;i++) mark[ring[k1][i]]=1;
    tim=0,getW(ring[k1][0],0,0);
    for (int i=1;i<=len;i++){
        int x=id[i]; 
        mxdp=0,DP(x,0),ans=max(ans,mxdp);
        a[i]=dp[x];
    }
    for (int i=1;i<=len;i++) a[i+len]=a[i];
    int l=1,r=1; q[l]=1;
    for (int i=2;i<=tim;i++){
        while (l<=r&&i-q[l]>=len)l++;
        int j=q[l]; if (l<=r)ans=max(ans,a[i]+a[j]+b[i]-b[j]);
        while (l<=r&&a[i]-b[i]>a[q[r]]-b[q[r]])r--;
        q[++r]=i;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int n;read(n);
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x;ll w; read(x),read(w);
        addedge(x,i,w);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!dep[i])dfs(i,1,0,0);
    ll ans=0;
    for (int i=1;i<=tot;i++)ans+=solve(i);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

[题解] LuoguP4381 [IOI2008]Island

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