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CodeForces 1294E Obtain a Permutation

时间:2020-01-23 22:54:17      阅读:45      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:复杂度   ++   次数   还原   family   symbol   需要   font   接下来   

Description

描述

给一个 $n \times m$ 的矩阵,你想要把它还原成如下的矩阵:

技术图片

你有两种操作:

  • 选择一个数,修改它的值。
  • 选择一列,每个元素上移一位,第一行的元素移到第 $n$ 行。

求还原的最小操作次数。

输入

第一行两个正整数 $n, m$($1 \le n, m \le 2\times 10^5$,$n \times m \le 2 \times 10^5$)。

接下来是一个 $n \times m$ 的矩阵 $a_{i, j}$($1 \le a_{i, j} \le 2\times 10^5$)。

输出

一个数表示答案。

样例

输入1

3 3
3 2 1
1 2 3
4 5 6

输出1

6

输入2

4 3
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12

输出2

0

输入3

3 4
1 6 3 4
5 10 7 8
9 2 11 12

输出3

2

解释

样例1:$a_{1,1}\gets 7$,$a_{1,2} \gets 8$,$a_{1,3} \gets 9$,然后每列上移一次。

样例2:矩阵已经还原。

样例3:上移第 $2$ 列 $2$ 次。

Solution

先观察一下两种操作:

  • 单点修改
  • 整列上移

发现了什么?不同列之间互不影响,所以我们可以对于每一列分开处理。

那么,对于一列 $j$,因为“先修改,后上移”和“先上移,后修改”没有本质区别,所以我们定义 $same_{j, i}$($0\le i <n $)表示将第 $j$ 列上移 $i$ 个单位后,有几个数是不用变的。那么上移了 $i$ 个单位以后,自然还有 $n - same_{j, i}$ 个数是需要变的,那么就要花费 $n - same_{j,i}$ 次修改操作,上移也花费了 $i$ 次操作,那第 $j$ 列的最优方案就是 $\min\limits_{0 \le i < n } \left(i + n - same_{j, i} \right)$,最终答案就是:

$$ans = \sum_{j = 1}^{m}\left( \min\limits_{0 \le i < n } \left(i + n - same_{j, i} \right) \right)$$

现在唯一的问题就是如何求出 $same$ 了。我们发现,如果一个数 $a_{i, j}$ 是 应该出现在第 $\boldsymbol{j}$ 列 的数字,那么一定有 $j \le a_{i,j} \le n \times m$,同时 $a_{i, j} \equiv j \pmod{m}$(后者在代码里写作了  (a[i][j] - j) % m )。

如果上面的条件满足了,那我们就可以算一下 $a_{i,j}$ 这个数字应该出现在哪一行。显然,它应该出现在 $\dfrac{a_{i,j} - j}{m} + 1$ 行(记作 $k$)。

那如果我们把 $a_{i,j}$ 移到第 $k$ 行,它就不用变了。回顾 $same$ 的定义,从第 $i$ 行移到第 $k$ 行,要移动几次呢?

  • 如果 $i \ge k$,移动 $i - k$ 个单位即可;
  • 如果 $i < k$,那首先把它移到第 $1$ 行需要 $i - 1$ 次,然后再移 $1$ 次到第 $n$ 行,从第 $n$ 行移到第 $k$ 行需要 $n - k$ 次,加起来,就是 $i - 1 + 1 + n - k$,化简得 $i - k + n$。

如果合并的话,就是要移动 $(i - k + n) \bmod n$ 次,那么我们就可以把 $same_{j, (i - k + n) \bmod n}$ 增加 $1$ 了。

注意 $n, m$ 都有可能达到 $2 \times 10^5$,所以需要开不定长数组,时间复杂度 $\mathcal O(nm)$。$same$ 可以每列重复使用,舍去前一个维度。

代码贴出,仅供参考。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int NM = 2e5 + 5;
int n, m, same[NM], ans;
vector<int> a[NM];
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		a[i].push_back(0); // 下标凑成从 1 开始
		for(int j = 1; j <= m; j++)
		{
			int val;
			cin >> val;
			a[i].push_back(val);
		}
	}
	for(int j = 1; j <= m; j++)
	{
		int tans = INT_MAX;
		for(int i = 0; i < n; i++) same[i] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			if(a[i][j] < j || a[i][j] > n * m || (a[i][j] - j) % m != 0) continue;
			int k = (a[i][j] - j) / m + 1;
			same[(i - k + n) % n]++;
		}
		for(int i = 0; i < n; i++) tans = min(tans, i + n - same[i]);
		ans += tans;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

CodeForces 1294E Obtain a Permutation

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原文地址:https://www.cnblogs.com/syksykCCC/p/CF1294E.html

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