梯度下降法求解线性回归

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梯度下降法

梯度下降法（英语：Gradient descent）是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索，则会接近函数的局部极大值点；这个过程则被称为梯度上升法。

梯度下降的形象解释

现在有一个山谷，你想要到达山谷的最低端，你此时在A点，那么此时就可以利用梯度下降来找到最低点。你每次以你当前的方向为基准。选择一个最陡峭的方向，朝着山下降的方向向下走，每次走一段距离，重复执行该步骤，你总能够到达山顶。

## 梯度下降算法原理

原理介绍：

### 微分

微分其实就可以看作是函数图像在某点的斜率。有单变量微分和多变量微分

梯度

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

梯度是一个向量。对于某个点的梯度其实就是对每个变量求偏导构成的向量。

梯度下降算法的数学原理

公式解释:\(\Theta_0\) 表示当前所在的位置,\(\Theta_1\)表示下一个位置，\(\alpha\)表示步长，\(J\)函数就是当前的梯度。减号表示步长的反向，即下坡。

在机器学习中\(\alpha\)表示学习率或者步长，我们需要通过\(\alpha\)来控制每一步所走的距离，既不能太快，也不能太慢。

梯度下降应用实例

现在我们有一个单变量的函数：

对函数求微分：

设定\(\Theta_0=1\)，学习率\(\alpha=0.4\)

根据梯度下降的公式

我们不断迭代：

经过\(4\)次迭代，最终结果也接近了函数的最小值。

多变量函数的求解过程和单变量的求解如出一辙。

梯度下降求解线性回归

房屋价格与面积（数据在下面表格中）

使用梯度下降求解线性回归（求\(\Theta_0,\Theta_1\)）

我们的目的是使得我们的估计值和实际值相差最小，因此我们定义一个代价函数，这里我们使用均方误差代价函数：

即：

而其中\(h_\Theta(x)=\Theta_0+\Theta_1x\)
让函数分别对\(\Theta_0,\Theta_1\)求偏导。

其中：

接下来就是代码时间了

import math
m=7 #数据集大小
Theta0=300
Theta1=100
#初始坐标

alpha=0.000000001#学习率
area=[150,200,250,300,350,400,600];#数据集
price=[6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450];
def gradientx(Theta0,Theta1):#对Theta0的偏导
    ans=0
    for i in range(0,7):
        ans=ans+Theta0+Theta1*area[i]-price[i]
    ans=ans/m
    return ans
def gradienty(Theta0,Theta1):#对Theta1的偏导
    ans=0
    for i in range(0,7):
        ans=ans+(Theta0+Theta1*area[i]-price[i])*area[i]
    ans=ans/m
    return ans


nowTheta0 = Theta0-alpha*gradientx(Theta0, Theta1)#下一个点的坐标
nowTheta1 = Theta1-alpha*gradienty(Theta0, Theta1)
#print(nowTheta0,nowTheta1)
while math.fabs(nowTheta1-Theta1)>0.000000001:#梯度下降
    nowa = nowTheta0-alpha*gradientx(nowTheta0,nowTheta1)
    nowb = nowTheta1-alpha*gradienty(nowTheta0, nowTheta1)
    nowTheta0=nowa
    nowTheta1=nowb
    nowa = Theta0-alpha*gradientx(Theta0, Theta1)
    nowb = Theta1-alpha*gradienty(Theta0, Theta1)
    Theta0=nowa
    Theta1=nowb
print(nowTheta0,nowTheta1 )
#299.85496413867725 32.638872688242515

绘图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from matplotlib import pyplot
area=[150,200,250,300,350,400,600]#数据集
price=[6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
pyplot.scatter(area,price)
x=np.arange(100,700,100)
y=32.37648991481203*x+299.85496413867725
pyplot.plot(x,y)
pyplot.xlabel('area')
pyplot.ylabel('price')
pyplot.show()

结果：

我们可以看到梯度下降求解出的线性回归很好的与结果吻合了。

拟合过程（每次的\(\Theta_0\)和\(\Theta_1\)）:

梯度下降法求解线性回归

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原文地址：https://www.cnblogs.com/codancer/p/12232294.html