质因数分解

标签：改变   ==   不用   lan   因子   时间复杂度   提交   就是   时间   

??我们很容易发现，一个数最多只有一个大于\(\sqrt{n}\)的质因子。
证明：假设\(\exists{n}\in\mathbb{R}，n\)有两个大于\(\sqrt{n}\)的质因子，分别记为\(p_1,p_2\)，
???则\(n\geqslant p_1p_2\)，
???又\(p_1,p_2>\sqrt{n}\)，
???\(\therefore p_1p_2>n\)，矛盾，
???\(\therefore\)一个数最多只有一个大于\(\sqrt{n}\)的质因子。

??所以我们只需要考虑\(1～\sqrt{n}\)之间的质因子，用他们来试除\(n\)，若最终\(n\)仍不为\(1\)，那么此时的n便是那个大于\(\sqrt{n}\)的质因子。
??大体的流程已经清楚，但是，在具体实现时的一些细节上我们仍然可以来优化它。
??试看下面这道例题。
例题：小凯的函数
??很显然，这一题就是要我们求出一个数的质因子个数。

    up=sqrt(a);
    ans=0;
    //prime[]数组是用欧拉筛预处理出的质数
    for(int i=1;prime[i]<=up;++i){
        while(a%prime[i]==0){
            a/=prime[i];
            ans++;
        }
    }
    if(a!=1) ans++;

??这样写看起来没有任何问题，然而提交之后你就会发现这样会超时，只能得到50分。
??那么，问题出在哪里？
??前面我们已经知道，一个数最多只有一个大于\(\sqrt{n}\)的质因子，所以我们只需要考虑\(1～\sqrt{n}\)之间的质因子。而每次试除成功后，\(a\)的值已然发生改变（为了方便叙述，我们将之记作\(a'\)）。我们在接下来的试除过程中，只需考虑\(1～\sqrt{a'}\)的质因子，\(\sqrt{a'}～\sqrt{a}\)的质因子就不用再考虑了。而如果我们按照上述写法，则仍然考虑了\(\sqrt{a'}～\sqrt{a}\)这一部分质因子，引起超时。所以我们应当在每次\(a\)的值发生改变后，就相应地改变上界，减少时间的浪费。虽然这样时间复杂度仍然是\(O(\sqrt{n})\)级别的，但是由于减少了冗余的试除，实际跑起来会快许多。
??代码如下。

    up=sqrt(a);
    for(register int i=1;prime[i]<=up;++i){
        if(a%prime[i]==0){
            while(a%prime[i]==0){
                a/=prime[i];
                ++ans;
            }
            up=sqrt(a);
        }
    }
    if(a!=1) ++ans;

质因数分解

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原文地址：https://www.cnblogs.com/znk161223/p/12232983.html