[ACW]893集合-Nim游戏

//sg函数的定义本身就有递归的感觉，一直到递归基
#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;

int n,m;
const int N=110,M=10010;
int s[N],F[M];

int sg(int x){
    if(F[x]!=-1) return F[x];
    //用哈希表存所有可以到的局面
    unordered_set<int > S;
    for(int i=0; i<n; i++){
        if(x >= s[i]) S.insert(sg(x-s[i]));
    }
    for(int i=0;;i++){
        if(!S.count(i)) return F[x]=i;
    }

}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++){
        cin>>s[i];
    }


    cin>>m;
    memset(F , -1, sizeof(F));
    int res=0;
    for(int i=0; i<m; i++){
        int x;
        cin>>x;
        res^=sg(x);
    }
    if(res) cout<<"Yes"<<endl;
    else cout<<"No"<<endl;

    return 0;
}

NIM游戏
    给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。
    
    我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。
    所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。
    NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
    
    定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ ... ^ An != 0


公平组合游戏ICG
    若一个游戏满足：
    1. 由两名玩家交替行动；
    2. 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；
    3. 不能行动的玩家判负；
    则称该游戏为一个公平组合游戏。
    NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。


有向图游戏
    给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
    任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。


Mex运算
    设S表示一个非负整数集合。定义mex(S)为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：
        mex(S) = min{x}, x属于自然数，且x不属于S


SG函数
    在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1, y2, ..., yk，定义SG(x)为x的后继节点y1, y2, ..., yk 的SG函数值构成的集合再执行mex(S)运算的结果，即：
        SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), ..., SG(yk)})
    特别地，整个有向图游戏G的SG函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即SG(G) = SG(s)。


有向图游戏的和
    设G1, G2, ..., Gm 是m个有向图游戏。定义有向图游戏G，它的行动规则是任选某个有向图游戏Gi，并在Gi上行动一步。G被称为有向图游戏G1, G2, ..., Gm的和。
    有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：
        SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ ... ^ SG(Gm)


定理
    有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0。
    有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0。