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题目描述
给定 $n$ ，求 $$f_n=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!$$
其中 $S(i,j)$ 为第二类斯特林数
数据范围
$n \le 10^5$
题解
第二类斯特林数表示的是 $n$ 个有标号的球放在 $m$ 个无标号的盒子里，每个盒子都有球的方案数
根据容斥，我们可以写出 $S(n,m)$ 的式子$$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i(_i^m)(m-i)^n$$
带入原式中，因为当 $j>i$ 时， $S(i,j)=0$ ，所以我们可以得到$$f_n=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k(_k^j)(j-k)^i$$
将 $i$ 放在后面，得$$=\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{\sum_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!}$$
于是 $Ntt$ 即可，效率： $O(nlogn)$
代码
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=4e5+5,P=998244353; int n,jc[N],ny[N],G[2]={3,(P+1)/3},s,A[N],B[N],t=1,p,r[N]; int X(int x){return x>=P?x-P:x;} int K(int x,int y){ int z=1; for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) z=1ll*z*x%P; return z; } void Ntt(int *a,int o){ for (int i=0;i<t;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]); for (int wn,i=1;i<t;i<<=1){ wn=K(G[o],(P-1)/(i<<1)); for (int x,y,j=0;j<t;j+=(i<<1)) for (int k=0,w=1;k<i;k++,w=1ll*w*wn%P) x=a[j+k],y=1ll*a[i+j+k]*w%P, a[j+k]=X(x+y),a[i+j+k]=X(x-y+P); } if (o) for (int i=0,v=K(t,P-2);i<t;i++) a[i]=1ll*a[i]*v%P; } int main(){ cin>>n; A[0]=B[0]=jc[0]=1; A[1]=P-1;B[1]=n+1; for (int i=1;i<=n;i++) jc[i]=1ll*i*jc[i-1]%P; ny[n]=K(jc[n],P-2); for (int i=n;i;i--) ny[i-1]=1ll*i*ny[i]%P; for (int i=2;i<=n;i++) A[i]=(i&1)?X(P-ny[i]):ny[i], B[i]=1ll*(K(i,n+1)-1)*ny[i]%P*K(i-1,P-2)%P; for (;t<n+n+2;t<<=1,p++); for (int i=0;i<t;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1)); Ntt(A,0);Ntt(B,0); for (int i=0;i<t;i++) A[i]=1ll*A[i]*B[i]%P; Ntt(A,1); for (int i=0,w=1;i<=n;i++,w=X(w<<1)) s=X(s+1ll*w*jc[i]%P*A[i]%P); cout<<s<<endl;return 0; }
bzoj4555 [Tjoi2016&Heoi2016]求和
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原文地址：https://www.cnblogs.com/xjqxjq/p/12242970.html
