动态规划之背包（一）

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动态规划的大部分问题可以化为：有限资源获得最大收益

1. 子集和

对于一列数，每个数都是非负数：
\[ a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n,~~a_i ≥ 0 \]
挑出一个子集使得子集的和等于某一个目标\(T\)。

这时通常会产生一种错误的贪心，就是从最大的数开始选择，反例：\(t = 100,~a_1 = 99, ~a_2 = 50, ~a_3 = 50\)。

所以此时开始思考穷举：对于数列\(1, 2, 3, 4\)，有以下子集：
\[ \begin {align*} &\{\} \&\Downarrow\&\{\}, \{1\} \&\Downarrow\&\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\} \&\Downarrow\&\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{3\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\} \&\Downarrow\&\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{3\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, \{4\}, \{1, 4\}, \{2, 4\}, \{1, 2, 4\}, \{3, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\}, \{1, 2, 3, 4\} \end {align*} \]
但是复杂度太高对于\(n\)个数，会产生\(2^n\)个子集，没有可行性。

但是可以发现之前穷举的表格是可以压缩的。因为观察到\(1 + 2 = 3\)，\(1 + 3 = 4\)，\(\cdots\)，每次只记录和的值。我们可以发现，通常这类题目中会存在一个至关重要的条件：\(\sum_i a_i ≤ 5 \times 10^4, n ≤100\)，所以最多只存在\(5\times 10^6\)的计算量，是非常划算的。过程变化为：每次的集合按照\(S = S \cup \{x~|~t + a_i, t \in S\}\)进行更新。例如：
\[ \begin {align*} &0 ~( + 1)\\Rightarrow~ &0,~1~(+2) \\Rightarrow~ &0,~1,~2,~3 ~(+3) \\Rightarrow~ &0,~1,~2,~3,~4,~5,~6 ~( + 4) \\Rightarrow~ &0,~1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,10 \end {align*} \]
要完成以上操作，需要一种数据结构，由于\(\sum_i a_i\)的限制，所以可以使用桶的数据结构，其对于取并非常方便：

伪代码：

S[0] = true; S[1 ... 50000] = false;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        T[0 ... a[i - 1]] = false; // 非常重要，不加可能产生问题
        for (x = 0; x <= 50000; x ++)   T[x + a[i]] = S[x];
                T[x + a[i]] = S[x];
        for (x = 0; x <= 50000; x ++) S[x] = S[x] || T[x];
}

但是我们不需要T数组的存在。

注意：以下代码为错误代码：

// 错误代码：
for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int x = 0; x ≤ 50000; x ++)
                S[x] = S[x] || S[x - a[i]];

原因：

我们所希望的算法为：\(S_x’ = S_x ~or ~S_{x - a_i}\)，但是实际上：\(S_x’ = S_x~or~S_{x - a_i} '\)。

所以改变思路：倒着算：从\(S_n\)算到\(S_1\)，伪代码（正确算法）：

// 正确代码：
for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int x = 50000; x >= a[i]; x --)
                S[x] = S[x] || S[x - a[i]];

但是这仍然可以被优化。由于我们所需要计算\(T\)是否可以被组成，所以只需将内循环的上界换为\(T\)即可：

for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int x = T; x >= a[i]; x --)
                S[x] = S[x] || S[x - a[i]];
cout << S[T] << endl;

2. 01背包

有\(n, n ≤100\)个物品，每个物品有两个属性：

• 价值：第\(i\)个物品的价值为\(v_i\)
• 重量：第\(i\)个物品的重量为\(w_i\)

每个背包有一个容量上界\(c\)，\(c ≤ 50000\)。要求求出放入背包重量不超过\(c\)的物品的最大价值总和。

现在我们可以再次尝试穷举：对于：
\[ \begin {bmatrix} w_1 = 1 \\ v_1 = 1 \end {bmatrix}, \begin {bmatrix} w_2 = 2 \\ v_2 = 1 \end {bmatrix}, \begin {bmatrix} w_3 = 2 \\ v_3 = 3 \end {bmatrix} \]
存在以下方案：其中\((a,b)\)表示价格\(a\)到重量\(b\)的映射，\(\{...\}\)中表示的是方案序号：
\[ \begin {align*} & \{\} \rightarrow (0, 0) \& \Downarrow \& \{\} \rightarrow (0, 0), \{1\} \rightarrow (1,1) \& \Downarrow \& \{\} \rightarrow (0, 0), \{1\} \rightarrow (1,1), \{2\} \rightarrow (2, 1), \{1, 2\} \rightarrow (3, 2) \& \Downarrow \& \{\} \rightarrow (0, 0), \{1\} \rightarrow (1,1), \{2\} \rightarrow (2, 1), \{1, 2\} \rightarrow (3, 2), \& \{3\} \rightarrow (2, 3), \{1, 3\} \rightarrow (3, 4), \{2, 3\} \rightarrow (4, 4), \{1, 2, 3\} \rightarrow (5, 5) \end {align*} \]
同样地，这样也存在很多冗余，由于这样的穷举事件复杂度如上题所说，可以优化。整个过程的表格可以表示为下列表格。其中\(x = 0\sim 5\)表示容量为\(0\sim 5\)的情况，其他值表示价值：

\[ f(x) = \max \begin {cases} f(x) \f(x - w[i]) + v[i] \end {cases} \]

如同上道题差不多，代码：

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int x = C; x >= w[i]; x --) 
                f[x] = max(f[x], f[x - w[i]] + v[i]);
}
cout << f[C];

3. 奶牛博览会

题目：

奶牛想证明它们是聪明而风趣的。为此，贝西筹备了一个奶牛博览会，她已经对\(n\)头奶牛进行了面试，确定了每头奶牛的智商和情商（可能是负数）。

贝西有权决定让哪些奶牛参加展览。她希望出展奶牛的智商与情商之和越大越好，而且这些奶牛的智商之和要大于等于零，情商之和也要大于等于零。请帮助贝西设计一组方案，使得智商加情商的和最大。如果选不出一组符合要求的奶牛，则输出\(0\)。

数据范围：

\(1≤n≤100\)，
\(?1000≤a_i,~b_i≤1000\)。

题解：

这道题的解决思路和先前差不多，就是将情商与智商，进行映射，即一个智商对应一个情商值（一个情商值对应一个智商值亦可）。而更新时，以某一个数据（情商或智商）作为基准，开始更新。

但是这个过程中会产生众多问题：

（一）在运算过程中，难免产生负的情商或者智商，而对于一个数组，形如\(f[-3]\)的写法是不被允许的，因为其越界了。

解决负数下标的方法：

1. 使用一个base，由于所以值的绝对值都不大于\(50000\)，所以对于每一次使用数组中的值时，序号前都加上base，且在定义时改为int f[100002];。\(f[-3] \rightarrow f[-3 + base]\)。

2. 对地址的变换：

   首先定义一个倍长的数组：\(\text{buffer}[100002]\)。进行如下操作：

   int buffer[100002];
   int *f = buffer + 50001;

   可以观察到，此时指针\(f\)已经位于\(\text{buffer}\)数组的中间。再进行\(f[-3]\)的操作就等于：\(*(f-3) = *(\text{buffer} + 50001 - 3)\)，并没有越界。

（二）数据更新的顺序存在问题，应该对数据进行正负区分更新：

解决数据中正负同时存在的问题：

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (s[i] >= 0)
        for (x = 50000; x >= -50000; x --) {
            f[x + s[i]] = max(f[x + s[i]], f[x] + t[i]);
        }
    else
        for (x = -50000; x <= 50000; x ++) {
            f[x + s[i]] = max(f[x + s[i]], f[x] + t[i]);
        }
}

但是这仍然是错误的，因为没有考虑初值的问题：

int inf = 50000;
for (int i = -50000; i <= 50000; i ++) f[i] = -inf;

其实这里只需要设置0…50000即可。

接下来考虑答案是多少：

int ans = 0;
for (int x = 0; x <= 50000; i ++)
        if (f[x] >= 0) ans = max(ans, x + f[x]);

但是，这仍然存在隐患，可以被优化：

int ub = 0, lb = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (s[i] >= 0) {
        for (x = ub; x >= lb; x --)
            f[x + s[i]] = max(f[x + s[i]], f[x] + t[i]);
        ub += s[i];
    }
    else {
        for (x = lb; x <= ub; x ++)
            f[x + s[i]] = max(f[x + s[i]], f[x] + t[i]);
        lb += s[i];
    }
}

动态规划之背包（一）

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