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七夕祭(贪心+中位数)

时间:2020-02-04 20:36:52      阅读:85      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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传送门

思路

因为交换同一列的相邻两行,这一列的总数不变;交换同一行的相邻两列,这一行的总数不变。
那么如果可以平均分配的话,可以先将所有行都分配好,然后再将所有列分配好。
这样就变成了做两次环形纸牌分配问题,
给一个数列,最后一位和第一位相邻,问能否平均分配,最少需要传递多少次。

首先考虑普通纸牌均分问题:

\(n\) 个人坐成一排,每个人 \(a[i]\) 张牌,每个人只能和旁边的人交换纸牌,问最好交换几次能使所有人的手牌数相等。
这是一个经典问题,答案等于 \(\sum_{i=1}^n|s[i]-\frac{t}{n}\cdot i|\),其中 \(s[i]=\sum_{j=1}^ia[i],t=sum[n]\)
这个结论是很好证明的,前 \(i\) 个人现在有的牌总共为 \(s[i]\) 张,而他们最终的状态是总共 \(\frac{t}{n}\cdot i\) 张,所以他们需要通过第 \(i\) 个人向第 \(i+1\) 个人给出或者索取 \(|s[i]-\frac{t}{n}\cdot i|\) 张牌。

环形纸牌均分问题:

刚刚是 \(n\) 个人做成一行,现在是 \(n\) 个人做成一圈,第 \(1\) 个人和第 \(n\) 个人也可以交换纸牌了,问题相同。
不管怎么说,它总有一个起点,一个终点,我们现在只是不清楚怎样选取起点终点可以使得答案更小而已,不妨先设将第 \(k+1\) 个人设为起点,第 \(k\) 个人设为终点。
\(A[i]=a[i]-\frac{t}{n}\)\(S[i]=\sum_{j=1}^iA[i]\),从第 \(k\) 个人断开看成一行。列出现在的排列和前缀和:
\[ \\A[k+1]\quad S[k+1]-S[k] \\A[k+2]\quad S[k+2]-S[k] \\ \cdot \\A[n]\quad S[n]-S[k] \\A[1]\quad S[1]+S[n]-S[k] \\A[2]\quad S[2]+S[n]-S[k] \\ \cdot \\A[k]\quad S[k]+S[n]-S[k] \]
因为 \(S[i]=\sum_{j=1}^iA[i]\),所以 \(S[n]=0\),那么可以发现对于不同的 \(k\),答案是 \(\sum_{i=1}^n|S[i]-S[k]|\),这个式子又涉及到了一个经典问题。

货舱选址

x 轴上有 \(n\) 个厂房,给出每个的地址 \(a[i]\),要求选一个厂房地址建货舱使所有厂房到这里的路程总和最小。
答案也是很简单的,是 \(a\) 数列的中位数,证明:设在最优位置仓库左边有 \(q\) 个仓库,总距离 \(Q\),右边有 \(p\) 个仓库,总距离 \(P\),则满足以下关系:
\[ \\Q+P\le Q-q*disl+P+(p+1)*disl\Rightarrow p-q+1\geq 0 \\Q+P\le Q+(q+1)*disr+P-p*disr\Rightarrow q-p+1\geq 0 \\ \Downarrow \\|p-q|\le 1 \]

回到环性纸牌均分问题

\(\sum_{i=1}^n|S[i]-S[k]|\) 的最小值就是 \(S[k]\)\(S\) 的中位数时

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=1e5+10;
int n,m,t;
LL r[MAXN],c[MAXN];

LL calc(LL *a,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]-=t/n;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];
    sort(a+1,a+n+1);
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(a[i]-a[n/2+1]);
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1,x,y;i<=t;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        r[x]++;c[y]++;
    }
    if(t%n==0&&t%m==0) printf("both %lld\n",calc(r,n)+calc(c,m));
    else if(t%n==0) printf("row %lld\n",calc(r,n));
    else if(t%m==0) printf("column %lld\n",calc(c,m));
    else printf("impossible\n");
    return 0;
}

七夕祭(贪心+中位数)

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原文地址:https://www.cnblogs.com/BakaCirno/p/12260657.html

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