标签：就会 不同 答案 car 最大 class ext 之间 序列
有一堆标号为\(1,\cdots,n\)的牌，初始有序。
现在我们进行\(m\)次如下的操作：在\(n\)张牌中任选一张抽出然后放回堆顶。
求最后牌堆依旧有序的概率，答案对\(1000000007\)取模。
\(n\le5*10^6\)
首先总方案数数是\(n^m\)。
我们考虑一下合法抽牌序列（序列中的元素为牌的标号）应该满足什么条件。
显然对于相同标号的牌，只有最后一次在序列中的出现才会对它的位置有影响。
序列的最后一位必须是\(1\)，然后我们把序列中的所有的\(1\)删掉。
然后序列中的最后一位就必须是\(2\)，然后我们把序列中的所有的\(2\)删掉。
。。。
直到删掉了序列中的所有元素位置。
到此我们可以总结出合法抽牌序列的充要条件：
\(1.\)若序列中出现了\(k\)个不同的数，那么这\(k\)个不同的数一定是\(1,\cdots,k\)。
\(2.\)序列中\(i\)的最后一次出现位置之后的数必须\(<i\)。
满足这两个限制的抽牌序列一定是合法的，有任何一个条件不满足的抽牌序列一定不合法。
然后我们考虑把相同的数的出现位置并成一个集合，不同的数的出现位置集合之间是无序的，这样一个合法的抽牌序列就会对应\(\{1,\cdots,m\}\)的一组划分。
而\(\{1,\cdots,m\}\)的一组划分也一定会对应恰好一组合法的抽牌序列。
即每次找到最大的数所在的集合，这个集合就是当前最小的未出现的数的位置集合。
因此合法的抽牌序列的个数是\(B_m\)。
然后我们考虑如何求\(B_m\)。
一个结论是\(B_n\)的EFG是\(\exp(\exp(x)-1)\)，但是MTT+exp常数太大了。
我们考虑推式子：
\(B_n=\sum\limits_{k=0}^n\left\{n\atop k\right\}=\sum\limits_{k=0}^n\frac1{k!}\sum\limits_{i=0}^k(-1)^i{k\choose i}(k-i)^n=\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{i+j=k}\frac{(-1)^i}{i!}\frac{j^n}{j!}\)
然后就可以MTT了，但是MTT常数太大了。
继续化简一下：
\(B_n=\sum\limits_{k=0}^n\sum\limits_{i+j=k}\frac{(-1)^i}{i!}\frac{j^n}{j!}=\sum\limits_{i=0}^n\frac{(-1)^i}{i!}\sum\limits_{j=0}^{n-i}\frac{j^n}{j!}\)
后缀和一下就行了，快速幂常数太小了。
把操作改为：把堆顶的牌抽出，在剩下的\(n\)个空位中任选一个插回去。
这样的话答案还是\(\frac{B_m}{n^m}\)。
因为修改后的操作相当于修改前的操作的逆，我们把修改前的一个操作序列倒过来就是一个修改后的操作序列，这显然是一一对应的。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12273291.html
