标签：math 深度 投影 class splay 属性 计算 颜色 假设
在投影变换视口变换后，需要对投影到屏幕上的平面三角形顶点属性进行线性插值，例如颜色，纹理，深度等。但对于投影前在3D空间的三角形来说，这个插值并不是线性的。下面来推导一下这个插值。
假设屏幕空间的三角形的三个顶点分别为\(v_0,v_1,v_2\)，\(v_p\)是位于三角形一边上的点\(v_0 + t(v_1 - v_0)\)。
那么有：
\[
x_p = x_0 + t(x_1 - x_0)
\]
其中，$ 0 \leq t \leq 1$。对于投影前的三角形，根据投影变换则有：
\[
\dfrac{x'}{x} = \dfrac{z'}{d}
\]
其中，\(x',z'\)为投影前三角形的坐标，\(d\)为到投影平面的距离。代入可得：
\[
\dfrac{x'_p}{z'_p} = \dfrac{x'_0}{z'_0} + t(\dfrac{x'_1}{z'_1} - \dfrac{x'_0}{z'_0})
\]
另外，我们已知\(v'_0,v'_1,v'_p\)三点共线，假设直线方程为\(ax'+bz'=c\)，代入化简可得到：
\[
\dfrac{1}{z'_p} = \dfrac{1}{z'_0} + t(\dfrac{1}{z'_1} - \dfrac{1}{z'_0})
\]
可见，对于投影前在3D空间的三角形来说，\(z\)的倒数成线性插值。这样，我们就可以根据屏幕空间三角形的顶点深度，插值计算出三角形内任意点的深度值。
同样地，对于其他属性\(m'\)例如颜色纹理等，它们都关于深度\(z'\)成线性关系，即都有\(am'+bz'=c\)。等式两边都除以\(cz'\)得到：
\[
\dfrac{am'}{cz'} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{1}{z'}
\]
根据之前求得的结果，有：
\[
\dfrac{am'_p}{cz'_p} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{am'_0}{cz'_0} + \dfrac{b}{c} + t(\dfrac{am'_1}{cz'_1} - \dfrac{am'_0}{cz'_0})
\]
化简得到：
\[
\dfrac{m'_p}{z'_p} = \dfrac{m'_0}{z'_0} + t(\dfrac{m'_1}{z'_1} - \dfrac{m'_0}{z'_0})
\]
可见，对于投影前在3D空间的三角形来说，其他属性乘以\(z\)的倒数成线性插值。这样，我们就可以根据屏幕空间三角形的顶点属性，插值计算出三角形内任意点的属性值。
标签：math 深度 投影 class splay 属性 计算 颜色 假设
原文地址：https://www.cnblogs.com/back-to-the-past/p/12274314.html
