单位根反演和循环卷积

时间：2020-02-09 23:34:02 阅读：85 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

标签：ash lol fft math 交换 oid 原因感受 res

这是\(FFT\)涉及到的一(两)个小知识

单位根反演

单位根

如果一个数\(x\),对\(\forall 1\le i<n\)有\(x^i\ne 1\)且\(x^n=1\)则\(x\)称为\(n\)次单位根

此定义在复数，膜意义下都是良定义

求和引理

\([k|n]=\frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_k^{in}\)

在前面已经有过证明

例题

\(\mathtt{BSOJ1683}\):求给出素数\(p\)和\(k\)满足\(k|p-1\)求\(\displaystyle{\sum_{i=0}^n [k|i]\binom{n}{i}F_i\bmod p}\)

\[\sum_{i=0}^n [k|i]\binom{n}{i}F_i\bmod p \\=\sum_{i=0}^n \frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\omega_k^{ij}\binom{n}{i}F_i\bmod p\]
因为我们知道\(A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix},A^n\)可以代表\(F_n\)同时具有关于数乘的结合律交换律
\[ =\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}\left(\omega_k^jA\right)^i \\=\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\left(I+\omega_k^jA\right)^i \]
有\(I+\omega_k^jA=\begin{bmatrix}\omega_k^j+1&\omega_k^j\\\omega_k^j&1\end{bmatrix}\)直接快速幂即可

应用

主要就是\(FFT\)逆变换那奇妙的一步，可以用单位根反演理解

考虑卷积\(\displaystyle{h(k)=\sum_{i,j}[i+j=k]f(i)g(j)}\)

当\(n\)足够大时\([i+j=k]=[n|i+j-k]\)

\[\sum_{i,j}[n|i+j-k]f(i)g(j) \\=\sum_{i,j}\frac{1}{n}\sum_{t=0}^{n-1}\omega_n^{t(i+j-k)}f(i)g(j) \\=\frac{1}{n}\sum_{t=0}^{n-1}\omega_n^{-tk}F(\omega_n^t)G(\omega_n^t) \]
\(F\)和\(G\)分别表示\(f\),\(g\)在\(DFT\)后对应位置上的取值

循环卷积

定义

悲惨的故事当卷积\(\displaystyle{h(k)=\sum_{i,j}[i+j=k]f(i)g(j)}\)中的\(n\)不够大，那么\([i+j=k]=[i+j\equiv k\pmod n]\)

问题变得诡异起来，\(\text{mod}\)是什么下标操作呢

考虑如果直接\(DFT\)会发生什么事情，那就是后面的要加到前面来，这是不敢想象的是

因此只能暴力\(DFT\)

inline void DFT(re cp a[],re char flag){
    re int i,j;re cp now,wn;
    for(i=0;i<n;++i){
        wn=cp(cos(2*i*PI/n),flag*sin(2*i*PI/n));now=cp(0,0);
        for(j=n-1;~j;--j)now=now*wn+a[j];
        res[i]=now;
    }
    if(flag==-1)for(i=0;i<n;++i)res[i].x/=n,res[i].y/=n;
    for(i=0;i<n;++i)a[i]=res[i],res[i]=cp(0,0);
}

其实存在\(O(n\lg n)\)的分治乘法