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小波多分辨率分析框架

时间:2020-02-13 19:36:48      阅读:97      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:改变   有用   一个   正交   组合   理解   就是   分辨率   limit   

我们知道,小波分析实际上就是将信号分解为“粗略”的和“精细”的两部分。其中“粗略”部分变化缓慢,获取“粗略”成分可理解为低通滤波;相应的,获取“精细”成分可理解为高通滤波。

为了能将这种分解一级级继续下去,我们需要定义一个子空间序列$V_j$满足如下条件:

(嵌套性)$V_j\subset V_{j+1}$

(稠密性)$\overline{\cup{V_j}}=L^2 (R)$

(分立性)$\cap{V_j}={0}$

(尺度性)$f(x)\in V_j \Longleftrightarrow f(2^{-j}x) \in V_0$

(标准正交基)存在函数$\phi \in V_0$,$\{\phi (x-k); k\in Z\}$是$V_0$的标准正交基

从实用角度看,最有用的一类尺度函数是有限支撑的,但这并不是一个理论上的限制。

满足上述条件的空间序列$\{V_j; j\in Z\}$和相应的函数$\phi$称为依尺度函数$\phi$的多分辨率分析。

 

定理1. 设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析,那么对任一$j \in Z$,函数集

$\{\phi_{jk} (x) = 2^{j/2} \phi(2^j x-k); k \in Z\}$

是$V_j$的一个标准正交基。

 

证明思路:考虑利用尺度特性证明$\{ V_j \}$中的函数可以写成$\{\phi (2^{-j} x - k); k\in Z\}$的线性组合。然后直接利用标准正交的定义证明$\{ \phi_{jk}; k \in Z \}$是标准正交的。

 

定理2. 设$\{V_j, j\in Z\}$是一个依尺度函数$\phi$的多分辨率分析,有下列尺度关系成立:

$\phi (x) = \sum\limits_{k\in Z} p_k \phi(2x-k)$,$p_k = 2 \int_{-\infty}^{\infty} \phi(x) \overline{\phi(2x-k)}dx$

进一步,有$\phi_{j-1,l}=2^{-1/2}\sum\limits_k p_{k-2l} \phi_{jk}$

注意有的教材会将$p_k$规范化,此时公式前面的系数有相应的改变。

解释与证明思路:考虑到空间的嵌套性与前述定理,$\phi(x)$总是可以写成$\phi(2x)$及其移位的线性组合。每个线性项的系数是$\phi(x)$在空间$\{V_1\}$的标准正交基上的投影。

小波多分辨率分析框架

标签:改变   有用   一个   正交   组合   理解   就是   分辨率   limit   

原文地址:https://www.cnblogs.com/byeyear/p/12304108.html

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