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夜空中最亮的星

1- Dirichlet 积分

设\(I(a)=\frac1\pi\int_0^{+\infty}\frac{\sin{at}}{t}dt\)，则有：
\[ I(a)= \begin{cases} \frac12&\text{a>0}\0&a=0\-\frac12&a<0 \end{cases} \]
为了证明 \(Dirichlet\ 积分\)，我们先证明\(\int_0^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx=\frac\pi2\)
\[ \begin{align} 设\ \frac1x=&\int_0^{+\infty}e^{-xs}ds\\int_0^T\frac{\sin{x}}{x}dx=&\int_0^{T}（\sin{x}{\int_0^{+\infty}e^{-xs}ds）}dx\=&\int_0^{+\infty}（{\int_0^{T}\sin{x}\ e^{-xs}dx）}ds\=&\int_0^{+\infty}[\frac{1}{1+s^2}-\frac{s\cdot\sin T+T\cdot\cos{T}}{s^2+T^2}e^{-s}]ds\=&\frac\pi2-\int_0^{+\infty}\frac{s\cdot\sin T+T\cdot\cos{T}}{s^2+T^2}e^{-s}ds\(\because&\lim_{s\to\infty}\frac{s\cdot\sin T+T\cdot\cos{T}}{s^2+T^2}=0)\=&\frac\pi2\则I(a)=&\frac1\pi\int_0^{+\infty}\frac{\sin{at}}{t}dt\=&a\cdot\frac1a\cdot\frac1\pi\int_0^{+\infty}\frac{\sin{at}}{at}d(at)\=&\frac1\pi\cdot\frac\pi2\=&\frac12 \end{align} \]
此积分的重要意义是可以将符号转化为积分表达式！

3-特征函数

设\(X\)是随机变量，\(f(x)\)为概率密度函数，则特征函数为：
\[ \varphi_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)dx \]
由：\(e^{itx}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(itx)^n}{n!}\)，则有：
\[ \begin{align} \varphi_X(t)=&\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)dx\=&\int_{-\infty}^\infty (\sum_{n=0}^\infty\frac{(itx)^n}{n!})f(x)dx\=&\sum_{n=0}^\infty\int_{-\infty}^\infty(\frac{(itx)^n}{n!})f(x)dx\=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}\int_{-\infty}^\infty x^nf(x)dx\=&\sum_{n=0}^\infty\frac{(it)^n}{n!}E(x^n)\\varphi_X(t)=&e^{it}\cdot E(x^n) \end{align} \]
特征函数的反演公式：
\[ f(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-itx}\varphi(t)dt \]

4-特征函数性质

设\(\{f(x)=P(x\leq X)\ |\ E(X)=\mu,Var(X)=\sigma^2\}\),其特征函数的本质为概率密度函数的傅里叶变换：
\[ \varphi_X(t)=\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)dx \]
而特征函数的 k 阶导数与 k 阶矩之间有密切联系：
\[ \varphi^{(k)}_X(t)=[\int_{-\infty}^\infty e^{itx}f(x)dx]^{(k)}=\int_{-\infty}^\infty (e^{itx})^{(k)}f(x)dx =\int_{-\infty}^\infty (ix)^{k}e^{itx}f(x)dx \]
于是，令\(t=0\):
\[ \begin{align} \varphi_X(0)&=\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1\\varphi^{'}_X(0)&=\int_{-\infty}^\infty (ix)e^0f(x)\ dx\&=i\int_{-\infty}^\infty xf(x)\ dx\&=i\cdot E(x)\\varphi^{''}_X(0)&=\int_{-\infty}^\infty (ix)^2e^0f(x)\ dx\&=-\int_{-\infty}^\infty x^2f(x)\ dx\&=-(\int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^2f(x)\ dx+\int_{-\infty}^\infty(2\mu)xf(x)\ dx-\mu^2\int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx)\&=-\sigma^2-\mu^2 \end{align} \]
特征函数的乘法性质：
\[ \varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\varphi_{Y}(t) \]
若\(X\thicksim N(0,1)\)，则其概率密度函数为：
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \]
其对应的特征函数为：

\[ \begin{align} \varphi_X(t)=&\int_{-\infty}^\infty e^{itx}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}})dx=e^{-\frac{t^2}{2}} \end{align} \]

\[ \begin{align} \varphi_X(t)=&\int_{-\infty}^\infty e^{itx}(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}})dx\\varphi'_X(t)=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty(-xe^{-\frac{x^2}{2}}+ixe^{-\frac{x^2}{2}})e^{itx}dx\=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty ixe^{-\frac{x^2}{2}}e^{itx}dx\=&\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}d(-e^{-\frac{x^2}{2}})\=&\frac{i}{\sqrt{2\pi}}e^{(itx-\frac{x^2}{2})}|_{-\infty}^{+\infty} -\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty -e^{-\frac{x^2}{2}}d(e^{itx})\=&\frac{i}{\sqrt{2\pi}}e^{(itx-\frac{x^2}{2})}|_{-\infty}^{+\infty} -\frac{i}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty ite^{itx}(-e^{-\frac{x^2}{2}})dx\=&-\frac{t}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{itx}(e^{-\frac{x^2}{2}})dx\=&-t\varphi(t) \end{align} \]

于是我们又获得一个重要的微分方程：
\[ \frac{d\varphi(t)}{dt}=-t\cdot\varphi(t) \]
变形得到：
\[ \begin{align} \frac{d\varphi(t)}{\varphi(t)}&=-tdt\\int\frac{d\varphi(t)}{\varphi(t)}&=-\int tdt\\ln{\varphi(t)}&=-\frac{t^2}{2}+C\\varphi(t)&=C_0\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}\（\because\varphi(0)=1,带入公式&得到C_0=e^0=1,于是有）\\varphi(t)&=e^{-\frac{t^2}{2}}\\end{align} \]
也就是说当概率密度函数为\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)时，特征函数为：\(\varphi(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}\)。

5-中心极限定理

设\(X_1,X_2,\dots,X_n\)为n个独立同分布随机变量，\(X_i\thicksim N(\mu,\sigma^2)\),不妨设\(Y_i=X_i-\mu,\)那么\(Y_i\thicksim N(0,\sigma^2)\),设\(Y_i\)的特征函数为\(\varphi(t)\)，

设随机变量\(\eta=\frac{Y_1+Y_2+\dots+Y_n}{\sigma\sqrt{n}}\),由\(\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\varphi_{Y}(t)\),则\(\eta\)的特征函数为：
\[ [\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})][\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]\dots[\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]=[\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]^n \]
将\(\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})\)在0点\(Taylor\)展开，
\[ \begin{align} \varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma}) &=\varphi(0)+\varphi'(0)(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})+\frac{\varphi''(0)}{2!}(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2+o((\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2)\&=1+\frac{i\mu t}{\sqrt{n}\sigma}-\frac{(\sigma^2+\mu)t^2}{2n\sigma^2}+o((\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2)\&=1-\frac{t^2}{2n}+o((\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2)\\therefore[\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]^n&=[1-\frac{t^2}{2n}+o((\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2)]^n\&=[1-\frac{t^2}{2n}+o((\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})^2)]^{(-\frac{2n}{t^2})(-\frac{t^2}{2})}\\lim_{n\to\infty}[\varphi(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})]^n&=e^{-\frac{t^2}{2}} \end{align} \]
因此\(\eta\thicksim N(0,1)\)服从标准正态分布。

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