行列式相关

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对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，有：

\[ \det A= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod_{j}^n a_{jp_j} \]

对于上三角矩阵，有：
\[ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\0&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\0&0&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \prod_{i}^n a_{ii} \]
对于矩阵 \(A\)，定义其转置矩阵 \(A^\text{T}\) 满足 \(a_{ij}=a_{ji}^{\text{T}}\)，有：
\[ \det A=\det A^{\text{T}} \]
可知，行列式的行和列是完全等价的。

对于矩阵 \(A\)，行列式存在性质：

• 性质 1：交换任意两行（列），则\(\det A\) 变号。
• 性质 2：若某行（列）同乘 \(k\)，则 \(\det A\) 乘 \(k\)。
  • 推论 2.1：若存在两行（列）对应元素成比例，则 \(\det A\) 为 \(0\)。
• 性质 3：若将矩阵 \(A\) 拆成 \(B\) 和 \(C\)，对于某一行（列）\(x\)，满足 \(\vec{A_x}=\vec{B_x}+\vec{C_x}\)，其余位置满足 \(A_{ij}=B_{ij}=C_{ij}\)，则 \(\det A\) 为 \(\det B+\det C\)。
  • 推论 3.1：若将矩阵 \(A\) 的某行（列）同乘 \(k\) 加到另一行（列）上，则 \(\det A\) 不变。
• \(n\) 阶行列式的值等于 \(n\) 个向量在 \(n\) 维空间中构成的的平行 \(n\) 维体的体积。

对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，定义其去掉 \(a_{ij}\) 所在的行和列后余下的矩阵为 \(a_{ij}\) 的余子式，记作 \(M_{ij}\)；定义 \((-1)^{i+j}M_{ij}\) 为 \(a_{ij}\) 的代数余子式，记作 \(A_{ij}\)，有：
\[ \sum_{k=1}^na_{ik}\det A_{jk}=\begin{cases}\det A&i=j\\0&i\not=j\end{cases} \]
以上称为行列式按行（列）展开法则。

定义范德蒙德（Vandermonde）矩阵
\[ D_n= \begin{bmatrix} 1&1&1&\cdots&1\a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\cdots&\cdots&\cdots&&\cdots\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{bmatrix} \]
有：
\[ \det D_n=\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j) \]

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