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行列式相关

时间:2020-02-15 11:28:11      阅读:105      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:not   begin   ext   play   行列式   位置   交换   sum   text   

对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\),有:

\[ \det A= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\vdots&\vdots&&\vdots\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod_{j}^n a_{jp_j} \]

对于上三角矩阵,有:
\[ \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\0&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\0&0&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\0&0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix} = \prod_{i}^n a_{ii} \]
对于矩阵 \(A\),定义其转置矩阵 \(A^\text{T}\) 满足 \(a_{ij}=a_{ji}^{\text{T}}\),有:
\[ \det A=\det A^{\text{T}} \]
可知,行列式的行和列是完全等价的。

对于矩阵 \(A\),行列式存在性质:

  • 性质 1:交换任意两行(列),则\(\det A\) 变号。
  • 性质 2:若某行(列)同乘 \(k\),则 \(\det A\)\(k\)
    • 推论 2.1:若存在两行(列)对应元素成比例,则 \(\det A\)\(0\)
  • 性质 3:若将矩阵 \(A\) 拆成 \(B\)\(C\),对于某一行(列)\(x\),满足 \(\vec{A_x}=\vec{B_x}+\vec{C_x}\),其余位置满足 \(A_{ij}=B_{ij}=C_{ij}\),则 \(\det A\)\(\det B+\det C\)
    • 推论 3.1:若将矩阵 \(A\) 的某行(列)同乘 \(k\) 加到另一行(列)上,则 \(\det A\) 不变。
  • \(n\) 阶行列式的值等于 \(n\) 个向量在 \(n\) 维空间中构成的的平行 \(n\) 维体的体积。

对于 \(n\) 阶矩阵 \(A\),定义其去掉 \(a_{ij}\) 所在的行和列后余下的矩阵为 \(a_{ij}\)余子式,记作 \(M_{ij}\);定义 \((-1)^{i+j}M_{ij}\)\(a_{ij}\)代数余子式,记作 \(A_{ij}\),有:
\[ \sum_{k=1}^na_{ik}\det A_{jk}=\begin{cases}\det A&i=j\\0&i\not=j\end{cases} \]
以上称为行列式按行(列)展开法则

定义范德蒙德(Vandermonde)矩阵
\[ D_n= \begin{bmatrix} 1&1&1&\cdots&1\a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\a_1^2&a_2^2&a_3^2&\cdots&a_n^2\\cdots&\cdots&\cdots&&\cdots\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1} \end{bmatrix} \]
有:
\[ \det D_n=\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j) \]

行列式相关

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Ryedii-blog/p/12310885.html

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