标签：根据 line sub splay 枚举 strong begin bst matrix
给定 \(n\) 个点 \(k\) 棵树的森林，第 \(i\) 棵树的大小为 \(s_i\)，要求加入 \(k-1\) 条边，使之连通，求方案数。
设第 \(i\) 棵树的度数为 \(d_i\)，则对于给定 \(d_1,d_2,\cdots,d_k\)，根据 prufer 序列，进行可重集排列
\[
\begin{pmatrix}
k - 2\d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1
\end{pmatrix}=
\frac{(k-2)!}{\prod_i(d_i-1)!}
\]
又每棵树的连接方式有 \(s_i^{d_i}\) 种，有
\[
\begin{pmatrix}
k - 2\d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1
\end{pmatrix}
\prod_{i}s_i^{d_i}
\]
现在枚举 \(\{d_i\}\)，可得
\[
Cnt=
\sum_{\substack{\sum_{i=1}^kd_i=2k-2\\d_i\ge 1}}
\begin{pmatrix}
k - 2\d_1-1,d_2-1,\cdots,d_k-1
\end{pmatrix}
\prod_{i}s_i^{d_i}
\]
又因为多元二项式定理
\[
(\sum_{i=1}^nx_i)^p=
\sum_{\substack{\sum_{i=1}^nc_i=p\\c_i\ge 1}}
\begin{pmatrix}
p\c_1,c_2,\cdots,c_n
\end{pmatrix}
\prod_{i=1}^nx_i^{c_i}
\]
可化简为
\[
n^{k-2}\prod_{i=1}^ks_i
\]
标签：根据 line sub splay 枚举 strong begin bst matrix
原文地址：https://www.cnblogs.com/Ryedii-blog/p/12311266.html
