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交轨法是解析几何中求动点轨迹方程的常用方法之一。首先选择适当的参数表示两动曲线的方程，将两动曲线方程中的参数消去，然后得到不含参数的方程，此方程即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法[交点轨迹法]。
法1：参数方程法，首先联立两个方程，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x-my-1=0①}\\{mx+y-1=0②}\end{array}\right.\)
给②式乘以\(m\)，消\(y\)得到，\(x=\cfrac{m+1}{m^2+1}\)，代入②式得到\(y=\cfrac{1-m}{m^2+1}\)
即交点轨迹的参数方程为
\[\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{m+1}{m^2+1}}\\{y=\cfrac{1-m}{m^2+1}}\end{array}\right.\quad (m为参数)\]
或者说我们就可以用参数方法来回答这个问题。
不过我们还是继续完成接下来的任务，重点和难点是消参。
\(\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{m+1}{m^2+1}①}\\{y=\cfrac{1-m}{m^2+1}②}\end{array}\right.\quad (m为参数)\)，如何消参，
给①^2+②^2，得到\(x^2+y^2=\cfrac{(m+1)^2}{(m^2+1)^2}+\cfrac{(1-m)^2}{(m^2+1)^2}=\cfrac{2}{m^2+1}\)，
又\(x+y=\cfrac{2}{m^2+1}\)，故\(x^2+y^2-x-y=0\)。
又当\(x=0\)且\(y=0\)时，\(m\)不存在，
故所求的轨迹方程为\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
法2：交轨法，将两个方程分别变形为\(my=x-1\)和\(mx=1-y\)，
当\(m=0\)时，两个方程不能相除，此时得到两个直线的交点为\((1，1)\)；
当\(m\neq 0\)时，两式相除得到\(\cfrac{my}{mx}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，即\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，
变形为\(y(1-y)=x^2-x\)，整理为\(x^2+y^2-x-y=0\)，即\((x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\cfrac{1}{2}\)
再分别验证点\((1，1)\)和点\((0，1)\)和点\((1，0)\)都在上述曲线上，但是点\((0，0)\)不应该在轨迹曲线上，
[为什么验证这四个点，原因是由\(\cfrac{y}{x}=\cfrac{x-1}{1-y}\)，两个横行即分子分母都为零，得到点\((0，1)\)和\((1，0)\)，两个竖行都为零，得到点点\((0，0)\)和\((1，1)\)，]
故所求的轨迹方程为\(x^2+y^2-x-y=0(x\neq0且y\neq 0)\)。
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