基础计算几何

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模

\(|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}\)

点积

\((ax,ay)*(bx,by)=ax*bx+ay*by\)

叉积

\((ax,ay)\times(bx,by)=ax*by-ay*bx\)

夹角

\(<\vec a,\vec b>\)表示从\(\vec a\)逆时针旋转到\(\vec b\)的角度。
\(\cos<\vec a,\vec b>=\frac{\vec a*\vec b}{|\vec a||\vec b|}\)
\(\sin<\vec a,\vec b>=\frac{\vec a\times\vec b}{|\vec a||\vec b|}\)

极角

\((x,y)\)的极角\(\varphi=<(1,0),(x,y)>=\operatorname{arctan}\frac yx\)。

面积

\(\vec a\)与\(\vec b\)所成平行四边形的面积为\(|\vec a\times\vec b|\)。

旋转

\((x,y)\)逆时针旋转\(\theta\)得到\((x\cos\theta-y\sin\theta,y\cos\theta+x\sin\theta)\)。

线段相交

\((\vec{a_1},\vec{a_2}),(\vec{b_1},\vec{b_2})\)相交\(\Leftrightarrow\)\(((\vec{b_1}-\vec{a_1})\times(\vec{b_1}-\vec{a_2}))((\vec{b_2}-\vec{a_1})\times(\vec{b_2}-\vec{a_2}))\le0\wedge((\vec{a_1}-\vec{b_1})\times(\vec{a_1}-\vec{b_2}))((\vec{a_2}-\vec{b_1})\times(\vec{a_2}-\vec{b_2}))\le0\)

直线交点

先用叉积判断平行，然后利用定比分点计算。
\((\vec{a_1},\vec{a_2}),(\vec{b_1},\vec{b_2})\)的交点为\(\vec{a_1}+\frac{(\vec{b_2}-\vec{b_1})\times(\vec{a_2}-\vec{a_1})}{(\vec{b_2}-\vec{b_1})\times(\vec{b_1}-\vec{a_1})}(\vec{a_2}-\vec{a_1})\)。

凸包

给定点集\(X\)，所有包含\(X\)的凸多边形的交称作\(X\)的凸包。
默认凸包有一原点为\((0,0)\)

Graham扫描法

选取横坐标最小的点作为原点，并将其它的点按与原点连成的向量按极角排序（极角相同的按模长升序排序）。
接下来分别求出上凸包与下凸包，以下凸包为例。
我们用栈维护凸包，设当前点为\(now\)，栈顶和第二个点分别为\(A,B\)，若\(A\)在直线\((B,now)\)的上方，那么将\(A\)弹出。
求上凸包的过程类似，将“上方”改为“下方”即可。

Mincowsky和

\(X,Y\)两个点集的Mincowsky和\(X+Y=\{x+y|x\in X,y\in Y\}\)。

可以看到\(X+Y\)的边是由\(X,Y\)的边构成的。
因此我们可以把\(X,Y\)的边归并排序，然后为了处理三点共线的情况再用Graham扫描法求一遍凸包就好了。

判断点是否在凸包内

先判断与边界的关系，然后找到与其极角相邻的两点进行判断。

面积

以原点为中心三角剖分，然后直接叉积求即可。

多边形

判断点是否在多边形内

从该点引一射线，若与多边形相交偶数次则在凸包内。

基础计算几何

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原文地址：https://www.cnblogs.com/cjoierShiina-Mashiro/p/12332846.html