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无向连通图图求割点

时间:2020-02-20 19:59:09      阅读:109      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:遍历   bool   str   struct   tarjan   删除   space   root   names   

概念:

割点:在一个无相连通图中,如果删除某个顶点后,图不再连接(即任意两点之间不再相互到达),我们称这样的顶点为割点(或者称为割顶)。

思考:

很容易想到的方法是:以此删除每个顶点,然后用深度优先搜索或者广度优先搜索来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后,,导致图不再联通,那么刚才删除的顶点就是割点,但是这种方法复杂度太高,所以需要换一种方法;

首相我们从图中的任意顶点开始对图进行遍历,我们在遍历的时候一定会遇到割点(废话),关键是如何确认一个顶点是割点。

假如我们深度优先遍历事访问到了k点,此时图就会被k点分成两部分。一部分是已经被访问过的点,另一部分是没有被访问过的点。如果k点事割点,那么剩下的没有被访问过点中至少会有一个点在不经过k点的情况下,是无论如何再也回不到已访问过得点了,那么一个连通图就是被k点分割成了不连通的子图;

这个算法的关键在于:当深度优先遍历访问到顶点u时,假设图中还有顶点v是没有访问过的点,如何判断顶点v在不经过顶点u的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点?如果从生成树的角度来说,顶点u就是顶点v的父亲,顶点v就是顶点u的儿子,而之前已经被访问过的顶点就是祖先。换句话说,如何检测顶点v在经过父节点u的情况下还能否回到祖先。我们的放大是对顶点v再进行一次深度优先遍历,但是此次遍历时不允许经过顶点u,看看还能否回到祖先。如果不能回到祖先则说明顶点u是割点。

例如以下例子:

技术图片

 

上图是深度优先遍历访问到5号顶点的时候,图中只剩下6号顶点还没有被访问过。现在6号顶点在不经过5号顶点的情况下,可以回到之前被访问过得顶点有1,3,2和4号顶点。我们这里只需要他能够回到最早顶点的“时间戳”(即tarjan算法中的low[ ]数组)。对于6号顶点来说就是记录1,因为6号顶点能够回到的最早顶点是1号顶点,而1号顶点的时间戳为1(圆圈右上方的数)。为了不重复计算,我们用low[ ]数组来记录每个顶点在不经过父顶点时,能够回到的最小的“时间戳”:

技术图片

 

 对于某个顶点u,如果存在至少一个顶点v(即顶点u 的儿子),使得low[v]>=dfn[u],即不能回到祖先,那么u点为割点。对于本例们

号顶点的儿子只有6号顶点,且low[6]的值为1,而5号顶点的时间戳dfn[5]为5,low[6]<dfn[5],可以回到祖先,因此5号顶点不是割点。2号顶点是时间戳dfn[2]为3,他的儿子5号顶点的low[5]为3,low[5]==dfn[3],表示5号顶点不能绕过2号顶点从而访问到更早的祖先,因此2号顶点是割点;

代码实现:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
int n,m;
struct link
{
    int to;
    int next;
}edge[maxn];
int head[maxn],tot;
int dfn[maxn],low[maxn];
bool flag[maxn];
int root=1;
int cnt;
inline void add(int x,int y)
{
    edge[++tot].to =y;
    edge[tot].next = head[x];
    head[x] = tot;
} 
void tarjan(int u,int father)
{
    low[u] = dfn[u] = ++cnt;
    int child = 0;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(!dfn[v])
        {
            child++;
            tarjan(v,u);
            low[u] = min(low[u],low[v]);
            if(u!=root&&low[v]>=dfn[u])
            {
                flag[u] =true;
            }
            if(u==root&&child==2)
            {
                flag[u] =true;
            }
        }else if(v!=father)
        {
            low[u] = min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    tarjan(1,root);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(flag[i]==true)
        {
            printf("%d ",i);
        }
    }
    return 0;
}

注:以上思路取自:《啊哈算法》

以上;

 

无向连通图图求割点

标签:遍历   bool   str   struct   tarjan   删除   space   root   names   

原文地址:https://www.cnblogs.com/wangqiqq/p/12337014.html

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