[AGC024F]Simple Subsequence Problem

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题意

考虑全体不超过 $N$ 位的（非空）01串，（为了题解写得方便）其全体集合记为 $U$.

给定 $U$ 的子集 $S$, 求 $U$ 有多少元素满足它是 $S$ 中至少 $K$ 个串的子序列。

保证 $N \le 20$, $K \le |S|$.

题解

先考虑如何判定字符串 $s$ 是 $t$ 的子串。

从左到右依次考虑 $s$ 的每个字符 $s_i$:

• 若 $t$ 中不含 $s_i$, 可得 $s$ 不是 $t$ 的子串；
• 否则将 $t$ 中第一个 $s_i$ 及之前的所有字符删去（记此处理后的字符串为 $\mathrm{trans}(t, s_i)$），继续枚举 $s_i$.

当 $s$ 的所有字符都考虑完毕时，可得 $s$ 是 $t$ 的子串。

考虑用动态规划描述上述过程，将 $U$ 的所有元素和 $S$ 的所有元素一并匹配。

因此记 $f(s, t)$ 表示 $S$ 中有多少元素按照上述操作依次匹配过 $s$ 中的字符后，余下的字符串为 $t$.

初值：对于 $t \in S$, $f(\epsilon, t)=1$, 其余为 $0$.

转移：对于 $sc \in U$（其中 $s$ 是一个01串，$c$ 是一个字符）以及含有 $c$ 的字符串 $t$, $f\big(sc, \mathrm{trans}(t, c)\big) \overset+\gets f(s, t)$.

答案：$$\sum_{s \in U}\left[\sum_{t \in U\cup\{\epsilon\}}f(s, t) \ge K\right]$$

用二进制来压缩 $s$ 与 $t$ 并计算 $\mathrm{trans}(t, c)$.

由于 $|s|+|t| \le N$, 该算法的时空复杂度为 $O(N2^N)$.

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