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分组求和法

时间:2020-02-23 16:45:02      阅读:80      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:rac   spl   数列   isp   推广   grid   begin   运算   play   

前言

适用范围

把数列中的每一项都能拆分成两项或者几项之代数和,然后有效分组[比如所有奇数项为一组,所有偶数项为另一组],转化为等差求和或等比求和类型,或能知道求和公式[不一定是等差或等比]的类型;

比如数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=(2n-1)+\cfrac{1}{3^n}\),此时需要我们具备将数列竖行看的能力;

\[a_1=(2\times1-1)\quad+\quad\cfrac{1}{3^1}\]

\[a_2=(2\times2-1)\quad+\quad\cfrac{1}{3^2}\]

\[ \cdots\quad,\quad\cdots \]

\[a_n=(2\times n-1)\quad+\quad\cfrac{1}{3^n}\]

\[\quad\quad\quad\quad\quad\Uparrow 此列等差\quad\quad\Uparrow 此列等比\]

相关公式

①等差数列的\(S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\cfrac{n(n-1)\cdot d}{2}\)

②等比数列的\(S_n=\left\{\begin{array}{l}{na_1,q=1}\\{\cfrac{a_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\cfrac{a_1-a_nq}{1-q},q\neq 1}\end{array}\right.\)

\(1+2+3+\cdots+ n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)

\(1+3+5+\cdots +(2n-1)=\cfrac{[1+(2n-1)]\cdot n}{2}=n^2\),注意求和项数为\(n\)项;

\(2+4+6+\cdots +2n=\cfrac{(2+2n)\cdot n}{2}=n^2\),注意求和项数为\(n\)项;

\(1^2+2^2+3^2+\cdots+ n^2=\cfrac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}\)

\(1^3+2^3+3^3+\cdots+ n^3=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)

⑧由\(a_{n+2}-a_n=2\)可知,数列中奇数项成等差,公差为\(2\);偶数项成等差,公差为\(2\)

⑨由\(\cfrac{a_{n+2}}{a_n}=2\)可知,数列中奇数项成等比,公比为\(2\);偶数项成等比,公比为\(2\)

运算技巧

①指数运算:

$4^n=(2^2)^n=(2^n)^2;$
$2^n+2^n=2^{n+1};$
$2^{n+1}-2^n=2^n;$
$2^{n}-2^{n-1}=2^{n-1}$;
$2^{n+1}+2^n=3\cdot 2^n$;
$2^{-(n+1)}\cdot 2=2^{-n}$;
$2^n\cdot 2^n=2^{2n}$;
$3^{n-1}-3^n=-2\cdot 3^{n-1}$;
$2^{n+1}÷2^n=2;$
$\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{3}{2^{n+1}}$;
$3^{n-1}\cdot 3^n=3^{2n-1}$;
$2^{n+1}\cdot 2^n=2^{2n+1};$

②利用等差数列求项数:

\(a_n=a_1+(n-1)\cdot d\),可得项数\(n=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1\),推广得到项数\(n=\cfrac{a_n-a_m}{d}+m\)

如数列\(2^1,2^3,2^5,\cdots ,2^{2n-1}\)的项数的计算,其项数可以利用上标来计算,其上标刚好成等差数列,

项数\(r=\cfrac{a_n-a_1}{d}+1=\cfrac{(2n-1)-1}{3-1}+1=n\)

分组求和法

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原文地址:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/12350177.html

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